超関数のフーリエ変換

Q: 超関数（分布）とは何か

超関数は「テスト関数（滑らかで台がコンパクトな関数）に対して数値を対応させる連続線形汎関数」として定義される一般化された「関数」である。ディラックのデルタ関数 $\delta(x)$（点 $x=0$ での評価）など、通常の意味では関数にならないものを扱える。

Q: ディラックのデルタ関数はどのような性質をもつか

デルタ関数 $\delta$ はテスト関数 $\phi$ に対して $\langle \delta, \phi\rangle = \phi(0)$ と定義される。形式的には $\int_{-\infty}^{\infty}\delta(x)\phi(x)\,dx = \phi(0)$。フーリエ変換すると定数関数 $\hat{\delta}(\xi)=1$ になる。物理では点電荷・点衝撃などのモデルに使われる。

Q: 超関数論はフーリエ解析でどのように役立つか

緩増加超関数の枠組みでは全ての緩増加超関数（tempered distribution）がフーリエ変換を持つ（従来の $L^1$ や $L^2$ の制限なし）。これにより $\delta$ 関数・定数関数・多項式などのフーリエ変換が定義でき、PDE の解析（グリーン関数）、信号処理（インパルス応答）、量子力学（位置・運動量演算子）の数学的基礎が整う。

超関数のフーリエ変換

難易度: 上級

分布論によるフーリエ解析の拡張

はじめに

デルタ関数や定数関数など、古典的な意味ではフーリエ変換が定義できない「関数」がある。超関数（分布）の理論は、これらに対してもフーリエ変換を厳密に定義する枠組みを提供する。

テスト関数

超関数はテスト関数への作用として定義される。一般の超関数（分布）では台がコンパクトな滑らかな関数 $C_c^\infty(\mathbb{R})$ をテスト関数に用いるが、フーリエ変換を空間内で閉じた形に保つため、本章ではより広いシュワルツ空間 $\mathcal{S}(\mathbb{R})$ をテスト関数とし、その双対である緩増加超関数を扱う。

シュワルツ空間 $\mathcal{S}(\mathbb{R})$

急減少関数の空間：

$$\mathcal{S}(\mathbb{R}) = \left\{\varphi \in C^\infty(\mathbb{R}) \,\middle|\, \sup_x |x^\alpha \varphi^{(\beta)}(x)| < \infty \text{ for all } \alpha, \beta \geq 0\right\}$$

シュワルツ空間の関数は：

無限回微分可能
すべての導関数が任意の逆べき乗より速く減衰する（どんな多項式を掛けても有界にとどまる）

例

$\varphi(x) = e^{-x^2}$：シュワルツ空間に属する
$\varphi(x) = e^{-|x|}$：シュワルツ空間に属さない（原点に微分不可能点あり）
$\varphi(x) = \dfrac{1}{1+x^2}$：無限回微分可能だが減衰が緩やか（$x^{-2}$ 程度）でシュワルツ空間に属さない ―― 滑らかでも $\mathcal{S}$ とは限らない

図1. テスト関数の例。$e^{-x^2}$（青）は無限回微分可能で急減少するため、シュワルツ空間 $\mathcal{S}(\mathbb{R})$ に属する。一方 $e^{-|x|}$（赤）は原点に角をもち微分できないため、$\mathcal{S}(\mathbb{R})$ に属さない。

緩増加超関数

緩増加超関数空間 $\mathcal{S}'(\mathbb{R})$

$\mathcal{S}(\mathbb{R})$ 上の連続線形汎関数全体の空間

超関数 $T \in \mathcal{S}'$ は、テスト関数 $\varphi \in \mathcal{S}$ に対して値 $\langle T, \varphi \rangle \in \mathbb{C}$ を返す。

通常の関数との関係

$f$ が高々多項式的増大の関数なら、

$$\langle T_f, \varphi \rangle = \displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}f(x)\varphi(x)\,dx$$

により $T_f \in \mathcal{S}'$ を定義できる。

デルタ関数の厳密な定義

デルタ超関数

$$\langle \delta, \varphi \rangle = \varphi(0)$$

「$\delta(x)$ は $x = 0$ で無限大、他では $0$」という直感的描像は、超関数の作用として厳密化される。

$\delta(x)$ $\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}\!\delta(x)\,dx = 1$ $= 0$

図2. デルタ関数の直感的描像：$x=0$ で「無限大」、他では $0$、全積分は $1$。矢印はインパルスの「重み（＝積分値 1）」を表す。厳密にはテスト関数への作用 $\langle\delta,\varphi\rangle=\varphi(0)$ で定義される。

デルタ関数の性質

$\langle \delta_a, \varphi \rangle = \varphi(a)$（シフトしたデルタ関数）
$\langle \delta', \varphi \rangle = -\varphi'(0)$（デルタ関数の導関数）
$x\delta(x) = 0$（超関数の意味で）

以下では通常の関数に対するフーリエ変換を $\hat{f}(\omega) = \displaystyle\int_{-\infty}^{\infty} f(x)\,e^{-i\omega x}\,dx$ と定める（角周波数を用い、順変換に係数を付けない規約）。この規約のもとで逆変換に $\dfrac{1}{2\pi}$ が現れ、$\hat{1} = 2\pi\delta$ のように $2\pi$ が顔を出す。

シュワルツ空間上のフーリエ変換 $\mathcal{F}: \mathcal{S} \to \mathcal{S}$ は全単射である。

超関数のフーリエ変換

$T \in \mathcal{S}'$ に対して、$\hat{T} \in \mathcal{S}'$ を

$$\langle \hat{T}, \varphi \rangle = \langle T, \hat{\varphi} \rangle$$

で定義する（$\varphi \in \mathcal{S}$）。

例：デルタ関数のフーリエ変換

$$\langle \hat{\delta}, \varphi \rangle = \langle \delta, \hat{\varphi} \rangle = \hat{\varphi}(0) = \displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}\varphi(x)\,dx = \langle 1, \varphi \rangle$$

したがって $\hat{\delta} = 1$（定数関数 $1$）。

例：定数のフーリエ変換

$\hat{1} = 2\pi\delta$

超関数の演算

微分

超関数の微分は常に定義できる：

$$\langle T', \varphi \rangle = -\langle T, \varphi' \rangle$$

畳み込み

適切な条件の下で、超関数の畳み込みも定義できる：

$$(T * \varphi)(x) = \langle T, \varphi(x - \cdot) \rangle$$

特に $\delta * f = f$（デルタ関数は畳み込みの単位元）。

フーリエ変換の性質

超関数の世界でも同様の性質が成り立つ：

$\mathcal{F}[T'] = i\omega \hat{T}$
$\mathcal{F}[xT] = i\dfrac{d\hat{T}}{d\omega}$
$\mathcal{F}[T * S] = \hat{T} \cdot \hat{S}$（適切な条件下）

重要な例

$T$	$\hat{T}$
$\delta(x)$	$1$
$1$	$2\pi\delta(\omega)$
$e^{i\omega_0 x}$	$2\pi\delta(\omega - \omega_0)$
$\text{sgn}(x)$	$\operatorname{p.v.}\dfrac{2}{i\omega}$（主値）
$H(x)$（ヘヴィサイド）	$\pi\delta(\omega) + \operatorname{p.v.}\dfrac{1}{i\omega}$
$\displaystyle\sum_n \delta(x - nT)$	$\dfrac{2\pi}{T}\displaystyle\sum_k \delta(\omega - \dfrac{2\pi k}{T})$

変換対の図解

上の各変換対を図示すると次のようになる（左：時間領域 $T$、右：周波数領域 $\hat{T}$）。ピンクの上向き矢印 ↑ はデルタ関数（インパルス）を、青の曲線・直線は通常の関数を表す。

$\delta(x)$ $\mathcal{F}$ $1$ $x$ $\omega$

図3. $\delta(x)\ \xrightarrow{\ \mathcal{F}\ }\ 1$。時間領域の一点インパルスは、すべての周波数を等しく含む定数スペクトルに変換される。

$1$ $\mathcal{F}$ $2\pi\delta(\omega)$ $x$ $\omega$

図4. $1\ \xrightarrow{\ \mathcal{F}\ }\ 2\pi\delta(\omega)$。直流（周波数 $0$）だけをもつ定数関数は、原点に立つ一点スペクトルに写る（図3の双対）。

$e^{i\omega_0 x}$ $\mathcal{F}$ $2\pi\delta(\omega-\omega_0)$ $\omega_0$ $x$ $\omega$

図5. $e^{i\omega_0 x}\ \xrightarrow{\ \mathcal{F}\ }\ 2\pi\delta(\omega-\omega_0)$。単一周波数 $\omega_0$ の複素正弦波は、$\omega_0$ に立つ一本の線スペクトルになる。

$\operatorname{sgn}(x)$ $+1$ $-1$ $\mathcal{F}$ $\dfrac{2}{i\omega}$ $x$ $\omega$

図6. $\operatorname{sgn}(x)\ \xrightarrow{\ \mathcal{F}\ }\ \dfrac{2}{i\omega}$（主値）。奇関数である符号関数は純虚数の奇スペクトルをもち、$\omega\to 0$ で発散する（コーシーの主値の意味で解釈する）。

$H(x)$ $1$ $\mathcal{F}$ $\pi\delta(\omega)$ $\dfrac{1}{i\omega}$ $x$ $\omega$

図7. $H(x)\ \xrightarrow{\ \mathcal{F}\ }\ \pi\delta(\omega)+\dfrac{1}{i\omega}$。ヘヴィサイド階段関数は、直流成分 $\pi\delta(\omega)$ と奇な純虚数成分 $1/(i\omega)$ の和になる（$H=\tfrac12(1+\operatorname{sgn})$ に対応）。

$T$ $\mathcal{F}$ $\dfrac{2\pi}{T}$ $x$ $\omega$

図8. $\displaystyle\sum_n \delta(x-nT)\ \xrightarrow{\ \mathcal{F}\ }\ \dfrac{2\pi}{T}\sum_k \delta\!\left(\omega-\dfrac{2\pi k}{T}\right)$。等間隔 $T$ のインパルス列（ディラック櫛）は、間隔 $2\pi/T$ のインパルス列に変換される。時間間隔が狭いほど周波数間隔は広がる（ポアソン和公式）。

「主値の意味」について

$\operatorname{sgn}(x)$ や $H(x)$ の変換に現れる $\dfrac{1}{i\omega}$ は $\omega=0$ で発散し、$1/\omega$ は原点近傍で普通には積分できない。そこでこれを主値超関数 $\operatorname{p.v.}\dfrac{1}{\omega}$ として、原点を挟む対称な区間を除いてから極限を取ると解釈する：

$$\left\langle \operatorname{p.v.}\tfrac{1}{\omega},\ \varphi\right\rangle=\lim_{\varepsilon\to 0^+}\int_{|\omega|\ge \varepsilon}\frac{\varphi(\omega)}{\omega}\,d\omega.$$

$1/\omega$ は奇関数なので、左右の発散が対称に打ち消し合って有限値になる。これがコーシーの主値である。

まとめ

シュワルツ空間 $\mathcal{S}$：急減少する無限回微分可能関数
緩増加超関数 $\mathcal{S}'$：$\mathcal{S}$ 上の連続線形汎関数
デルタ関数：$\langle \delta, \varphi \rangle = \varphi(0)$
超関数のフーリエ変換：$\langle \hat{T}, \varphi \rangle = \langle T, \hat{\varphi} \rangle$
$\hat{\delta} = 1$, $\hat{1} = 2\pi\delta$

よくある質問

超関数（分布）とは何か

超関数は「テスト関数（滑らかで台がコンパクトな関数）に対して数値を対応させる連続線形汎関数」として定義される一般化された「関数」である。ディラックのデルタ関数 $\delta(x)$（点 $x=0$ での評価）など、通常の意味では関数にならないものを扱える。

ディラックのデルタ関数はどのような性質をもつか

デルタ関数 $\delta$ はテスト関数 $\phi$ に対して $\langle \delta, \phi\rangle = \phi(0)$ と定義される。形式的には $\int_{-\infty}^{\infty}\delta(x)\phi(x)\,dx = \phi(0)$。フーリエ変換すると定数関数 $\hat{\delta}(\xi)=1$ になる。物理では点電荷・点衝撃などのモデルに使われる。

超関数論はフーリエ解析でどのように役立つか

緩増加超関数の枠組みでは全ての緩増加超関数（tempered distribution）がフーリエ変換を持つ（従来の $L^1$ や $L^2$ の制限なし）。これにより $\delta$ 関数・定数関数・多項式などのフーリエ変換が定義でき、PDE の解析（グリーン関数）、信号処理（インパルス応答）、量子力学（位置・運動量演算子）の数学的基礎が整う。