第1章 変化とは何か
身近な例から「変化」を理解する
入門
1.1 日常の中の変化
私たちの周りには「変化」があふれている。
- 気温が時間とともに変化する
- 預金が利子で増える
- ボールを投げたときに、その位置が変わる
- 車の速度が変わる
微分とは、このような「変化」を数学的に捉えるための道具である。
この図を見ると、気温が時間とともにどのように変化しているかがわかる。朝は気温が低く、昼に向かって上がり、夜にはまた下がっている。
1.2 位置と速度
「変化」を理解するために、最もわかりやすい例である「速度」を考えてみよう。
例題：車の移動
車が直線道路を一定の速さで走っている（出発地点を $0$ km とする）。
- 1時間後：60km 地点にいる
- 2時間後：120km 地点にいる
- 3時間後：180km 地点にいる
このグラフでは：
- 横軸が時間（独立変数：入力）
- 縦軸が位置（出発地点からの道のり。従属変数：時間に応じて決まる量）
グラフが直線になっているのは、車が一定の速さで走っているからである。
グラフの傾き = 速度
位置-時間グラフの傾きは、その物体の速度を表している。
この例では車が一方向に進むので、速度と速さは一致する。途中で引き返すと位置は減っていくので速度は負になるが、速さ（単位時間あたりの移動距離）は正のままである。
1.3 平均変化率
ここで「変化率」という言葉を導入しよう。
関数 $y = f(x)$ において、$x$ が $a$ から $b$ まで変化したとき（$a \neq b$）、平均変化率は：
$$\text{平均変化率} = \dfrac{f(b) - f(a)}{b - a} = \dfrac{\Delta y}{\Delta x}$$ここで $\Delta$（デルタ）は「変化量」を表す記号である。
具体例で計算してみよう
例題：関数 $f(x) = x^2$ について、$x$ が $1$ から $3$ まで変化するときの平均変化率を求めよ。
Step 1：各点での関数値を計算する
$$f(1) = 1^2 = 1$$ $$f(3) = 3^2 = 9$$Step 2：変化量を求める
$$\Delta x = 3 - 1 = 2$$ $$\Delta y = f(3) - f(1) = 9 - 1 = 8$$Step 3：平均変化率を計算する
$$\text{平均変化率} = \dfrac{\Delta y}{\Delta x} = \dfrac{8}{2} = 4$$※ この図と 1.4 節の図は、見やすくするため縦軸を横軸より縮めて描いている。そのため、直線の見た目の傾きは数値の傾きと一致しない。
この結果は何を意味しているのだろうか。
$x$ が $1$ から $3$ に変化する間、平均すると $x$ が $1$ 増えるごとに $y$ は $4$ 増えるということである。
注意：平均変化率は途中の様子を表さない
「平均変化率が $0$ なら、その区間では何も変化していない」と思いたくなるが、実は違う。
$f(x) = x^2$ で $x$ が $-1$ から $1$ まで変化するとき、$f(-1) = 1$, $f(1) = 1$ なので平均変化率は $\dfrac{1 - 1}{1 - (-1)} = 0$ である。しかし途中では、$y$ は $1$ から $0$ まで下がり、再び $1$ に戻っている。
上の図の 3 つの関数は、どれも $x = -1$ と $x = 1$ で値が $1$ なので、平均変化率はすべて $0$ であり、両端を結ぶ線（破線）も 3 つとも同じになる。しかし途中では、$y = x^2$ は下がってから上がり、$y = 2 - x^2$ は上がってから下がり、$y = x^3 - x + 1$ は上がって、下がって、また上がる。平均変化率だけを見ても、この違いは分からない。
平均変化率が表すのは始点と終点の差だけである。途中の変化を知るには、区間を細かく分けて調べる必要がある。
1.4 変化率は一定ではない
しかし、放物線 $y = x^2$ をよく見ると、場所によって傾き（急さ）が違うことがわかる。
区間を変えて平均変化率を計算してみよう。
| 区間 | Δx | f(始点) | f(終点) | Δy | 平均変化率 |
|---|---|---|---|---|---|
| $[0, 1]$ | 1 | 0 | 1 | 1 | 1 |
| $[1, 2]$ | 1 | 1 | 4 | 3 | 3 |
| $[2, 3]$ | 1 | 4 | 9 | 5 | 5 |
| $[3, 4]$ | 1 | 9 | 16 | 7 | 7 |
「平均」ではなく、ある一点での変化率（瞬間の変化率）を知りたい場合はどうすればよいだろうか。
これが微分につながる核心的な問いである。
1.5 瞬間の変化率へ
車のスピードメーターを思い出してほしい。スピードメーターは「今この瞬間」の速度を示している。
これは「平均の速度」ではなく、「瞬間の速度」である。
数学的には、区間を限りなく小さくしていくことで、瞬間の変化率を求めることができる。
例えば $f(x) = x^2$ の $x = 2$ での瞬間の変化率を考える。1.4 節の表では、$x = 2$ を挟む区間 $[1, 2]$ と $[2, 3]$ の平均変化率は $3$ と $5$ であった。区間を $[1.9, 2]$ と $[2, 2.1]$ に縮めると、平均変化率は $3.9$ と $4.1$ になり、$4$ に近づいていく。
一般に、$h$ を $0$ に近づけたときの平均変化率 $\dfrac{f(a+h) - f(a)}{h}$ の行き先が、$x = a$ での瞬間の変化率である。式では次のように書く。
$$f'(a) = \lim_{h \to 0} \dfrac{f(a+h) - f(a)}{h}$$ただし、この値が決まるのは右辺の極限が存在するときに限る。極限の正確な意味と、極限が存在しない例は次章以降で扱う。
この考え方が「極限」と「微分」の核心である。
瞬間の変化率という考え方は、数学の中だけのものではない。物理の速度や加速度、経済の限界費用、機械学習で損失を減らす方向を決める勾配など、「変化」を扱う多くの分野の土台になっている。
この章のまとめ
- 変化は日常のあらゆる場面に存在する
- グラフの傾きは変化の速さ（変化率）を表す
- 平均変化率 $= \dfrac{\Delta y}{\Delta x} = \dfrac{f(b) - f(a)}{b - a}$
- 曲線では、場所によって変化率が異なる
- 瞬間の変化率を求めることが微分の目標
よくある質問
Q1. 「変化率」と「速度」の違いは何か
速度は「位置の時間に対する変化率」という特別な場合である。変化率はより一般的な概念で、任意の量 $y$ が別の量 $x$ に対してどれだけ変化するかを表す。気温の時間変化率、株価の変動率なども変化率の例である。
Q2. $\Delta x$ と $dx$ はどう違うか
$\Delta x$（デルタ x）は有限の変化量を表し、$dx$ はそれと同じ意味ではない。初等的な微分では、$\dfrac{dy}{dx}$ は導関数 $f'(x)$ を表すライプニッツの記法であり、$\Delta x \to 0$ としたときの $\dfrac{\Delta y}{\Delta x}$ の極限として理解する。$dy$ と $dx$ のそれぞれに意味（微分）を与える扱い方もあるが、それはより進んだ内容である。
Q3. 平均変化率は必ず正か
いいえ、関数が減少していれば負になる。$f(a) > f(b)$（$a < b$）の場合、$\Delta y = f(b) - f(a) < 0$ なので平均変化率は負である。例えば気温が下がる午後から明け方にかけての時間帯では、変化率が負である。また、増減がない区間では $0$ になる。
練習問題
問1（基礎）：関数 $f(x) = x^2$ で、$x$ が $2$ から $5$ まで変化するときの平均変化率を求めよ。
ヒント
$\dfrac{f(5)-f(2)}{5-2}$ を計算する。$f(2)=4$, $f(5)=25$。
問2（標準）：関数 $f(x) = 2x^2 - x$ で、$x$ が $0$ から $2$ まで変化するときの平均変化率を求めよ。
ヒント
$f(0)=0$, $f(2)=2\cdot4-2=6$。平均変化率 $= \dfrac{6-0}{2-0} = 3$。
問3（応用）：関数 $f(x) = x^2$ で、$x$ が $a$ から $a+h$ まで変化するときの平均変化率を $a$ と $h$ の式で表せ。
ヒント
$(a+h)^2 = a^2 + 2ah + h^2$ を展開すると、平均変化率 $= 2a + h$ となる（$h \neq 0$）。$h \to 0$ とすれば？