第2章: 複素平面と極形式
ガウス平面、極形式、ド・モアブルの定理
入門（高校数学レベル）
複素平面
複素数 $z = a + bi$ は、2つの実数 $(a, b)$ の組として表すことができる。これにより、複素数を平面上の点として図示できる。
定義：複素平面
複素平面（complex plane）またはガウス平面（Gaussian plane）とは、複素数を点として表す平面である。
- 横軸（x軸）：実軸（real axis）- 実部を表す
- 縦軸（y軸）：虚軸（imaginary axis）- 虚部を表す
複素数 $z = a + bi$ は点 $(a, b)$ に対応する。
複素数の基本量と幾何学的意味
$z = a + bi$ に対して、基本量の定義と、複素平面上での幾何学的な意味は次のとおり。
- 実数：$b = 0$ のとき（$z = a$）。幾何学的には実軸上の点。
- 純虚数：$a = 0$ かつ $b \neq 0$ のとき（$z = bi$）。幾何学的には虚軸上の点（原点を除く）。
- 絶対値 $|z| = \sqrt{a^2 + b^2}$。幾何学的には原点から点 $z$ までの距離。
- 共役複素数 $\bar{z} = a - bi$。幾何学的には実軸に関して $z$ と対称な点。
極形式
複素数は直交座標 $(a, b)$ だけでなく、極座標 $(r, \theta)$ でも表すことができる。
定義：極形式
$z \neq 0$ を複素数とする。$z$ の極形式（polar form）とは：
$$z = r(\cos\theta + i\sin\theta)$$ここで：
- $r = |z|$：原点からの距離（絶対値または動径）
- $\theta$：正の実軸から点 $z$ への角度（偏角、argument）
偏角は $\mathrm{arg}(z)$ と書かれ、$-\pi < \theta \leq \pi$ の範囲に制限したものを主値（principal value）といい、$\mathrm{Arg}(z)$ と書くこともある。
直交座標と極座標の関係
$z = a + bi = r(\cos\theta + i\sin\theta)$ より：
- $a = r\cos\theta$
- $b = r\sin\theta$
- $r = \sqrt{a^2 + b^2}$
- $\tan\theta = \displaystyle\dfrac{b}{a}$（$a \neq 0$ のとき）
例：極形式への変換
$z = 1 + i$ を極形式で表す。
- $r = |z| = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$
- $\tan\theta = \dfrac{1}{1} = 1$ で、$z$ は第1象限にあるので $\theta = \dfrac{\pi}{4}$
よって $z = \sqrt{2}\left(\cos\dfrac{\pi}{4} + i\sin\dfrac{\pi}{4}\right)$
例：特別な角度の複素数
| $\theta$ | 極形式 | 直交形式 |
|---|---|---|
| $0$ | $\cos 0 + i\sin 0$ | $1$ |
| $\dfrac{\pi}{2}$ | $\cos\dfrac{\pi}{2} + i\sin\dfrac{\pi}{2}$ | $i$ |
| $\pi$ | $\cos\pi + i\sin\pi$ | $-1$ |
| $\dfrac{3\pi}{2}$ | $\cos\dfrac{3\pi}{2} + i\sin\dfrac{3\pi}{2}$ | $-i$ |
この表は $0 \le \theta < 2\pi$ の範囲で角度を示した。主値（$-\pi < \theta \le \pi$）では $\dfrac{3\pi}{2}$ は $-\dfrac{\pi}{2}$ に対応する（表す点は同じ $-i$）。
極形式での乗法と除法
定理：極形式での乗法
$z_1 = r_1(\cos\theta_1 + i\sin\theta_1)$, $z_2 = r_2(\cos\theta_2 + i\sin\theta_2)$ のとき：
$$z_1 z_2 = r_1 r_2 \left(\cos(\theta_1 + \theta_2) + i\sin(\theta_1 + \theta_2)\right)$$すなわち、絶対値は掛け算、偏角は足し算になる。
証明
\begin{align*} z_1 z_2 &= r_1 r_2 (\cos\theta_1 + i\sin\theta_1)(\cos\theta_2 + i\sin\theta_2) \\ &= r_1 r_2 \left[(\cos\theta_1\cos\theta_2 - \sin\theta_1\sin\theta_2) + i(\sin\theta_1\cos\theta_2 + \cos\theta_1\sin\theta_2)\right] \\ &= r_1 r_2 \left(\cos(\theta_1 + \theta_2) + i\sin(\theta_1 + \theta_2)\right) \end{align*}最後の式変形は三角関数の加法定理による。
定理：極形式での除法
$z_2 \neq 0$ のとき：
$$\dfrac{z_1}{z_2} = \dfrac{r_1}{r_2} \left(\cos(\theta_1 - \theta_2) + i\sin(\theta_1 - \theta_2)\right)$$すなわち、絶対値は割り算、偏角は引き算になる。
証明
分母・分子に $z_2$ の共役 $\cos\theta_2 - i\sin\theta_2$ を掛けて有理化する。
\begin{align*} \dfrac{z_1}{z_2} &= \dfrac{r_1(\cos\theta_1 + i\sin\theta_1)}{r_2(\cos\theta_2 + i\sin\theta_2)} \\ &= \dfrac{r_1}{r_2} \cdot \dfrac{(\cos\theta_1 + i\sin\theta_1)(\cos\theta_2 - i\sin\theta_2)}{(\cos\theta_2 + i\sin\theta_2)(\cos\theta_2 - i\sin\theta_2)} \\ &= \dfrac{r_1}{r_2} \cdot \dfrac{(\cos\theta_1\cos\theta_2 + \sin\theta_1\sin\theta_2) + i(\sin\theta_1\cos\theta_2 - \cos\theta_1\sin\theta_2)}{\cos^2\theta_2 + \sin^2\theta_2} \\ &= \dfrac{r_1}{r_2} \left(\cos(\theta_1 - \theta_2) + i\sin(\theta_1 - \theta_2)\right) \end{align*}分母は $\cos^2\theta_2 + \sin^2\theta_2 = 1$ となり、分子は三角関数の加法定理（差の形）でまとまる。
幾何学的意味
複素数 $z$ に $w$ を掛けることは：
- 原点を中心に $\mathrm{arg}(w)$ だけ回転する
- 原点からの距離を $|w|$ 倍に拡大する
特に $|w| = 1$ のとき、$w$ を掛けることは純粋な回転になる。
ド・モアブルの定理
定理：ド・モアブルの定理
任意の整数 $n$ に対して：
$$(\cos\theta + i\sin\theta)^n = \cos(n\theta) + i\sin(n\theta)$$証明（$n \geq 1$ のとき、帰納法）
$n = 1$ のとき：$(\cos\theta + i\sin\theta)^1 = \cos\theta + i\sin\theta$。明らかに成立。
$n = k$ で成立すると仮定：$(\cos\theta + i\sin\theta)^k = \cos(k\theta) + i\sin(k\theta)$
$n = k+1$ のとき：
\begin{align*} (\cos\theta + i\sin\theta)^{k+1} &= (\cos\theta + i\sin\theta)^k \cdot (\cos\theta + i\sin\theta) \\ &= (\cos(k\theta) + i\sin(k\theta))(\cos\theta + i\sin\theta) \\ &= \cos((k+1)\theta) + i\sin((k+1)\theta) \end{align*}最後の等式は極形式の乗法による。
$n = 0$ のとき：$(\cos\theta + i\sin\theta)^0 = 1 = \cos 0 + i\sin 0$。成立。
$n < 0$ のとき：$n = -m$（$m > 0$）とすると
$$(\cos\theta + i\sin\theta)^{-m} = \dfrac{1}{(\cos\theta + i\sin\theta)^m} = \dfrac{1}{\cos(m\theta) + i\sin(m\theta)}$$$= \cos(-m\theta) + i\sin(-m\theta) = \cos(n\theta) + i\sin(n\theta)$
例：ド・モアブルの定理の応用
$(1 + i)^8$ を計算する。
$1 + i = \sqrt{2}\left(\cos\dfrac{\pi}{4} + i\sin\dfrac{\pi}{4}\right)$ より：
\begin{align*} (1 + i)^8 &= \left(\sqrt{2}\right)^8 \left(\cos\dfrac{\pi}{4} + i\sin\dfrac{\pi}{4}\right)^8 \\ &= 16 \left(\cos\dfrac{8\pi}{4} + i\sin\dfrac{8\pi}{4}\right) \\ &= 16(\cos 2\pi + i\sin 2\pi) \\ &= 16 \cdot 1 = 16 \end{align*}n乗根
複素数の世界では、任意の数の $n$ 乗根を求めることができる。
定理：複素数の n 乗根
$w \neq 0$ を複素数とし、$w = r(\cos\phi + i\sin\phi)$ とする。方程式 $z^n = w$ の解は：
$$z_k = \sqrt[n]{r}\left(\cos\dfrac{\phi + 2k\pi}{n} + i\sin\dfrac{\phi + 2k\pi}{n}\right) \quad (k = 0, 1, 2, \ldots, n-1)$$すなわち、ちょうど $n$ 個の解がある。
幾何学的解釈
$n$ 乗根は、原点を中心とする半径 $\sqrt[n]{r}$ の円周上に、等間隔（角度 $\dfrac{2\pi}{n}$）で配置される。最初の根 $z_0$ の偏角は $\dfrac{\phi}{n}$ で、そこから $\dfrac{2\pi}{n}$ ずつ回転した位置に残りの根が並ぶ。$\phi \neq 0$ のときは、$z_0$ は実軸上に乗らず、正多角形全体が原点まわりに $\dfrac{\phi}{n}$ だけ回転する。
例：$w = 8(\cos 120^\circ + i\sin 120^\circ)$ の 3 乗根
$w = 8(\cos 120^\circ + i\sin 120^\circ) = -4 + 4\sqrt{3}\,i$ の 3 乗根を求める。極形式から $|w| = 8$、$\arg w = 120^\circ$ なので、$n = 3$ の公式より：
\begin{align*} z_k &= \sqrt[3]{8}\left(\cos\dfrac{120^\circ + 360^\circ k}{3} + i\sin\dfrac{120^\circ + 360^\circ k}{3}\right) \\ &= 2\big(\cos(40^\circ + 120^\circ k) + i\sin(40^\circ + 120^\circ k)\big) \quad (k = 0, 1, 2) \end{align*}- $z_0 = 2(\cos 40^\circ + i\sin 40^\circ) \approx 1.53 + 1.29\,i$
- $z_1 = 2(\cos 160^\circ + i\sin 160^\circ) \approx -1.88 + 0.68\,i$
- $z_2 = 2(\cos 280^\circ + i\sin 280^\circ) \approx 0.35 - 1.97\,i$
絶対値はいずれも $\sqrt[3]{8} = 2$ で、最初の根 $z_0$ の偏角 $40^\circ = \dfrac{120^\circ}{3}$ は $w$ の偏角を三等分している。残りの根は $120^\circ$ ずつ回転した位置にある。
まとめ
- 複素平面では、複素数 $z = a + bi$ を点 $(a, b)$ として表す
- 極形式 $z = r(\cos\theta + i\sin\theta)$ では、$r$ が絶対値、$\theta$ が偏角
- 乗法では絶対値は掛け算、偏角は足し算になる
- ド・モアブルの定理：$(\cos\theta + i\sin\theta)^n = \cos(n\theta) + i\sin(n\theta)$
- 複素数の $n$ 乗根はちょうど $n$ 個あり、円周上に等間隔で配置される
よくある質問
Q1: 複素平面とはどのようなものか？
A: 複素数 $z = x + iy$ を点 $(x, y)$ として表した平面をガウス平面（複素平面、アルガン図）という。横軸が実部 Re$(z) = x$、縦軸が虚部 Im$(z) = y$ である。$|z| = \sqrt{x^2 + y^2}$ を絶対値（複素数の大きさ）、$\arg(z) = \arctan(y/x)$ を偏角という。
Q2: 極形式とはどのようなものか？
A: 複素数 $z = x+iy$ を $z = r(\cos\theta + i\sin\theta) = re^{i\theta}$（$r = |z|$、$\theta = \arg z$）と表す形を極形式という。掛け算は $z_1 z_2 = r_1 r_2 e^{i(\theta_1+\theta_2)}$（絶対値の積、偏角の和）と簡単になる。
Q3: ド・モアブルの定理とはどのようなものか？
A: $(\cos\theta + i\sin\theta)^n = \cos(n\theta) + i\sin(n\theta)$（$n$ は整数）が成り立つ定理である。$e^{i\theta}$ の $n$ 乗が $e^{in\theta}$ であることから自然に成立する。$n$ 次方程式 $z^n = 1$（1の $n$ 乗根）を求めるのに使う。