複素解析 上級

章の構成

概要

上級では、複素解析の深い理論と美しい定理を学ぶ。

等角写像は、角度を保存する写像である。正則関数は $f'(z_0)\neq 0$ となる点 $z_0$ で等角になり、$f'(z_0)=0$ となる点では角度が保たれない（たとえば $z^2$ は原点で角を 2 倍にする）。領域どうしを大域的に等角同値で結ぶには、さらに単射性が要る。等角写像は流体力学、静電気学、熱伝導など多くの物理現象の解析に応用される。

リーマンの写像定理は、複素解析における最も美しい定理の一つである。複素平面の空でない単連結な真部分領域はすべて単位円板と等角同値であることを主張し、複素領域の分類における基本定理となっている。存在の証明には、第9章で扱う正規族とモンテルの定理を用いる。

シュワルツ・クリストッフェル変換は、上半平面（または単位円板）から多角形領域への等角写像を積分の形で表す公式である。公式に含まれるパラメータ（頂点に写る境界上の点）は、3 つを除いて非線形方程式から決まり、一般には解析的に解けないため数値計算で求める（パラメータ問題）。工学的応用において特に重要な手法である。

解析接続は、関数の定義域を拡大する強力な手法である。モノドロミー定理は、単連結な領域の中では解析接続の結果が経路によらず一意に定まることを保証する重要な結果であり、多価関数（リーマン面）の理論への入り口となる。

ガンマ関数 $\Gamma(z)$ は階乗の複素数への拡張であり、数学の至る所に現れる重要な関数である。リーマンゼータ関数 $\zeta(s)$ は素数分布と深く関わり、その非自明な零点に関するリーマン予想は数学最大の未解決問題の一つである。

楕円関数は、$\mathbb{R}$ 上 1 次独立な 2 つの周期を持つ（二重周期の）有理型関数であり、楕円曲線や数論と深い関係がある。ワイエルシュトラスの$\wp$関数は楕円関数の基本的な構成要素であり、モジュラー形式への自然な入り口を提供する。

メビウス変換（1次分数変換）はリーマン球面の自己同型であり、円と直線をまとめた「円」を「円」に写す。これを使うと単位円板と上半平面の解析的自己同型がすべて書き下せ、双曲的距離とシュワルツ・ピックの定理につながる。

正規族は、関数の族のどの列からも広義一様収束する部分列が取れるという「コンパクト性」の概念で、モンテルの定理（一様有界な正則関数族は正規族）はリーマンの写像定理の証明の要になる。近似定理ではルンゲの定理（コンパクト集合上の正則関数の有理関数による近似）とミッタク＝レフラーの定理（主要部を指定した有理型関数の構成）を、ワイエルシュトラスの乗積定理では零点を指定した整関数を無限乗積で構成する方法を学ぶ。

ピカールの定理は、定数でない整関数がとらない複素数値は高々 1 つであること（小定理）、真性特異点の任意の穴あき近傍では高々 1 つの例外を除くすべての複素数値を無限回とること（大定理）を主張する。値分布論（ネヴァンリンナ理論）は、特性関数と第1・第2主定理によって値のとり方を定量的に扱う。

Wirtinger 微分は、$z$ と $\bar{z}$ を独立な変数とみなして偏微分する道具であり、正則でない関数（複素変数の実数値関数など）も扱える。複素変数に対する実関数の最適化を通じて、信号処理や機械学習に応用される。

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