第2章 展開の公式

Step 1（分配法則の適用）

分配法則を用いて、$(a+b)$ の各項に $(a-b)$ を掛ける：

$$(a + b)(a - b) = a(a - b) + b(a - b)$$

Step 2（展開）

各項をさらに展開する：

$$= a \cdot a + a \cdot (-b) + b \cdot a + b \cdot (-b)$$ $$= a^2 - ab + ab - b^2$$

Step 3（同類項の整理）

$-ab + ab = 0$ となり、中間項が消える：

$$= a^2 - b^2$$

Step 1（2乗を積として表す）

$$(a + b)^2 = (a + b)(a + b)$$

Step 2（分配法則で展開）

$$= a \cdot a + a \cdot b + b \cdot a + b \cdot b$$ $$= a^2 + ab + ab + b^2$$

Step 3（同類項をまとめる）

$$= a^2 + 2ab + b^2$$

Step 1（2乗を積として表す）

$$(a - b)^2 = (a - b)(a - b)$$

Step 2（分配法則で展開）

$$= a \cdot a + a \cdot (-b) + (-b) \cdot a + (-b) \cdot (-b)$$ $$= a^2 - ab - ab + b^2$$

Step 3（同類項をまとめる）

$$= a^2 - 2ab + b^2$$

Step 1（分配法則で展開）

\begin{align} (x + a)(x + b) &= x \cdot x + x \cdot b + a \cdot x + a \cdot b \\ &= x^2 + bx + ax + ab \end{align}

Step 2（$x$ の項をまとめる）

$$= x^2 + (a + b)x + ab$$

Step 1（3乗を分解）

$$(a + b)^3 = (a + b)^2 (a + b)$$

Step 2（$(a+b)^2$ を展開）

既に証明した公式より：

$$(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$$

よって：

$$(a + b)^3 = (a^2 + 2ab + b^2)(a + b)$$

Step 3（分配法則で展開）

\begin{align} &= a^2 \cdot a + a^2 \cdot b + 2ab \cdot a + 2ab \cdot b + b^2 \cdot a + b^2 \cdot b \\ &= a^3 + a^2b + 2a^2b + 2ab^2 + ab^2 + b^3 \end{align}

Step 4（同類項をまとめる）

$$= a^3 + (1 + 2)a^2b + (2 + 1)ab^2 + b^3$$ $$= a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$$

$(a+b)^3$ の公式で $b$ を $-b$ に置き換える：

\begin{align} (a + (-b))^3 &= a^3 + 3a^2(-b) + 3a(-b)^2 + (-b)^3 \\ &= a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3 \end{align}