多項式の歴史
古代エジプトから現代ガロア理論まで 4000 年の歩み
初級（大学1〜2年レベル）
多項式は、方程式を解く実用的な必要性から始まり、4000 年以上の歳月を経て、現代代数学の礎を築いた。以下では、次数ごとに解法が発見されていった歴史を辿る。
1. 1次式 — 方程式の原点
最も単純な多項式方程式 \( ax + b = 0 \) は、文明とともにある。古代エジプトのリンド・パピルス（紀元前1650年頃）には「ある量にその \( \frac{1}{7} \) を加えると19になる」（\( x + \frac{x}{7} = 19 \)）といった1次方程式が記録されている。古代バビロニアも穀物の分配や労働日数の計算として1次方程式を日常的に解いていた。
1次式の解法 \( x = -b/a \) は自明に見えるが、これが可能であるためには除法と負の数の概念が必要である。中国の『九章算術』やインド数学では古くから負の数が用いられたが、西洋数学で負の数が一般に受け入れられるには17世紀頃まで待たなければならなかった。
2. 2次式 — バビロニアの平方完成
紀元前2000年頃のバビロニアの粘土板には、2次方程式の解法が手順（アルゴリズム）として記録されている。「正方形の面積と一辺の和が与えられたとき、辺の長さを求めよ」という問題は、現代の記号で書けば \( x^2 + bx = c \) である。バビロニア人は本質的に平方完成を行い、この方程式を解いた。
古代ギリシアでは、ユークリッドが『原論』の中で線分の操作として2次方程式を扱った（面積のあてはめ）。しかし「多項式」という代数的対象の概念はまだ存在せず、すべては幾何学的に処理された。
9世紀、アル＝フワーリズミーは著書『復元と対比の書（アル・ジャブル）』で2次方程式を6つの標準形に分類し、それぞれの解法を体系的に示した。この書名がalgebraの語源である。彼が負の数や零を係数として認めなかったため、\( x^2 = bx \)、\( x^2 + bx = c \)、\( x^2 + c = bx \) 等は別の型として扱われた。
3. 3次式 — ルネサンスの方程式戦争
11世紀、ペルシアの詩人・数学者オマル・ハイヤームは3次方程式を19の型に分類し、円錐曲線の交点として幾何学的に解いた。しかし代数的な公式は得られなかった。
突破口を開いたのは16世紀イタリアの数学者たちである。ボローニャ大学のデル・フェッロが1515年頃に \( x^3 + px = q \) の解の公式を発見し、秘密にしていた。タルターリアが独立に同じ公式に到達し、カルダーノが1545年の著書『アルス・マグナ』で公表した。この公式はカルダーノの公式として知られる：
\[ x = \sqrt[3]{-\frac{q}{2} + \sqrt{\frac{q^2}{4} + \frac{p^3}{27}}} + \sqrt[3]{-\frac{q}{2} - \sqrt{\frac{q^2}{4} + \frac{p^3}{27}}} \]この公式は、実数の根を持つ場合でも負の数の平方根（虚数）を経由して答えに到達することがある（還元不能の場合: casus irreducibilis）。これが複素数の概念を生む契機となった。
4. 4次式 — フェラーリの解法
カルダーノの弟子フェラーリは、4次方程式を補助的な3次方程式（レゾルベント）に帰着させて解く方法を発見した。これも『アルス・マグナ』に収録されている。
これにより、1次から4次までのすべての多項式方程式がべき根（四則演算と累乗根）で解けることが確立された。
5. 記号代数の発展
解の公式と並行して、多項式を扱う言語そのものも進化した。
- ディオファントス（3世紀頃）：方程式を略記号で書き始めた最初の人物
- ヴィエト（16世紀後半）：文字を使った記号代数を確立し、根と係数の関係（ヴィエトの公式）を発見した
- デカルト（17世紀）：座標幾何学により多項式と曲線を結びつけ、符号の法則（正の根の個数の上界）を示した
ヴィエトの貢献は、個々の方程式を解くだけでなく、根の持つ性質を一般的に論じるという視点の転換であった。
6. 5次以上 — 解けないことの証明
18世紀、ラグランジュは3次・4次の解法を置換の観点から統一的に分析し、同じ方法では5次方程式が解けないことを示唆した。解の置換に着目したこの視点は、後の群論の萌芽となった。
1799年、ガウスは代数学の基本定理の最初の本格的な証明を与え（厳密な完成は後世のアルガンやコーシーらによる）、\( n \) 次多項式が \( \mathbb{C} \) 上で \( n \) 個の根を持つことを示した。根は必ず存在する。しかし、それを公式で書けるかは別の問題である。
1824年、アーベルは「5次以上の一般の多項式方程式は、四則演算とべき根では解けない」ことを証明した（アーベル＝ルフィニの定理）。アーベル自身は、この仕事ののち26歳で夭折している。
1832年、ガロアは方程式の可解性を群の構造で完全に特徴づけた。具体的な方程式が与えられたとき、それがべき根で解けるかどうかを判定する理論（ガロア理論）を創った。5次対称群 \( S_5 \) が可解群でないことが、一般の5次方程式の解の公式が存在しない根本的理由である。ガロアはわずか20歳で決闘に倒れ、その前夜に書き残した草稿が、今日のガロア理論の出発点となった。
7. 年表
| 時代 | 到達点 |
|---|---|
| 紀元前1650年頃 | エジプト：リンド・パピルスに1次方程式 |
| 紀元前2000年頃 | バビロニア：2次方程式を平方完成で解く |
| 紀元前3世紀 | ユークリッド『原論』：幾何学的な方程式解法 |
| 3世紀頃 | ディオファントス：略記号による方程式記述 |
| 9世紀 | アル＝フワーリズミー：代数学 (algebra) の体系化 |
| 11世紀 | オマル・ハイヤーム：3次方程式の幾何的解法 |
| 1545年 | カルダーノ『アルス・マグナ』：3次・4次の公式 |
| 16世紀後半 | ヴィエト：記号代数と根・係数の関係 |
| 1637年 | デカルト：座標幾何学、符号の法則 |
| 1770年 | ラグランジュ：置換による解法の分析 |
| 1799年 | ガウス：代数学の基本定理の最初の証明 |
| 1824年 | アーベル：5次方程式の不可解性の証明 |
| 1832年 | ガロア：ガロア理論の創設 |
8. 参考文献
- B. L. van der Waerden, A History of Algebra: From al-Khwārizmī to Emmy Noether, Springer, 1985.
- J. Stillwell, Mathematics and Its History, 3rd ed., Springer, 2010.
- 志賀浩二『数学が育っていく物語』全 6 巻, 岩波書店, 1994。
- 高木貞治『近世数学史談』, 共立出版, 1996（カルダーノ・ガロアの時代の概観）。
- Wikipedia: 代数方程式, ガロア理論。
9. よくある質問
なぜ5次以上の方程式はべき根で解けないのか
一般の5次以上の方程式に解の公式が存在しないことは、アーベル＝ルフィニの定理（1824年）が示した事実である。ガロアはその根本的な理由を群論で説明した。方程式の対称性を表すガロア群が「可解群」であることがべき根で解けるための条件であり、5次対称群 $S_5$ は可解群でないため、一般の5次方程式はべき根では解けない。ただしこれは「一般の」5次方程式の話であり、$x^5-1=0$ や $x^5-2=0$ のような特別な5次方程式は個別にはべき根で解ける。解けないのは、係数を文字のまま表した一般の解の公式である。
「代数学（algebra）」という言葉の由来は何か
9世紀の数学者アル＝フワーリズミーの著書『アル・ジャブル（復元と対比の書）』に由来する。書名の「アル・ジャブル（al-jabr）」がラテン語を経て algebra となった。彼はこの書で2次方程式を6つの標準形に分類し、体系的な解法を与えた。
3次方程式の解の公式を最初に発見したのは誰か
3次方程式 $x^3 + px = q$ の解の公式を最初に発見したのは、16世紀ボローニャのデル・フェッロである（1515年頃）。彼は公式を秘密にしていた。後にタルターリアが独立に再発見し、カルダーノが1545年の著書『アルス・マグナ』で公表したため、一般には「カルダーノの公式」として知られる。