第3章 周波数領域と時間領域の関係
Relationship between Frequency and Time Domains
1. 対応関係
周波数領域と時間領域のWienerフィルタは、フーリエ変換を介して対応している。 以下に両者の対応関係をまとめる。
| 周波数領域 | 時間領域 | 対応 |
|---|---|---|
| $P_S(\omega)$ | $\boldsymbol{R}_{ss}$ | 信号の自己相関 |
| $P_N(\omega)$ | $\boldsymbol{R}_{nn}$ | ノイズの自己相関 |
| $H^*(\omega)P_S(\omega)$ | $\boldsymbol{p} = E[\boldsymbol{x}d^*]$ | 相互相関 |
| $|H(\omega)|^2 P_S(\omega) + P_N(\omega)$ | $\boldsymbol{R} = E[\boldsymbol{x}\boldsymbol{x}^H]$ | 観測の自己相関 |
| $G(\omega)$ | $\boldsymbol{w}_{\rm opt}$ | 最適フィルタ |
Wiener-Khinchinの定理により、パワースペクトル密度 $P(\omega)$ と自己相関関数 $R(\tau)$ はフーリエ変換対の関係にある：
\begin{equation} P(\omega) = \int_{-\infty}^{\infty} R(\tau) e^{-j\omega\tau} d\tau \end{equation}2. 本質的等価性の証明
2.1 両領域の出発点
周波数領域（第1章）の最適解：
\begin{equation} G(\omega) = \frac{H^*(\omega) P_S(\omega)}{|H(\omega)|^2 P_S(\omega) + P_N(\omega)} \label{eq:wiener_freq} \end{equation}時間領域（第2章）の最適解（Wiener-Hopf 方程式）：
\begin{equation} \boldsymbol{w}_{\rm opt} = \boldsymbol{R}^{-1}\boldsymbol{p} \end{equation}2.2 等価性の導出
観測信号 $y(t) = (h * s)(t) + n(t)$（$h$ は劣化フィルタのインパルス応答、$s$ と $n$ は無相関: $E[s(t)n^*(t')] = 0$）に対して、時間領域の各量をフーリエ変換で周波数領域に対応づける。以下では、原信号の自己相関関数を $R_s(\tau) = E[s(t)s^*(t-\tau)]$、ノイズの自己相関関数を $R_n(\tau) = E[n(t)n^*(t-\tau)]$ と書く。
ステップ1: 観測の自己相関 $R_y$ のフーリエ変換
$y(t)$ と $y^*(t-\tau)$ をそれぞれ畳み込みの定義で書き下す：
\begin{align} y(t) &= \int h(u) \, s(t-u) \, du + n(t) \nonumber \\ y^*(t-\tau) &= \int h^*(v) \, s^*(t-\tau-v) \, dv + n^*(t-\tau) \end{align}これらを掛けて期待値を取る。$s$ と $n$ が無相関であるから交差項は消え：
\begin{align} R_y(\tau) &= E[y(t)y^*(t-\tau)] \nonumber \\ &= \iint h(u) h^*(v) \, E[s(t-u) s^*(t-\tau-v)] \, du\,dv + R_n(\tau) \nonumber \\ &= \iint h(u) h^*(v) \, R_s(\tau + v - u) \, du\,dv + R_n(\tau) \end{align}最後の等号では、定常性より $E[s(t-u)s^*(t-\tau-v)] = R_s((t-u)-(t-\tau-v)) = R_s(\tau+v-u)$ を用いた。
この二重積分は、$R_s(\tau)$ を $h(u)$ で畳み込み、さらに $h^*(-v)$ で畳み込んだものに等しい。畳み込み定理により、フーリエ変換では畳み込みが積に変わるから：
$$\mathcal{F}\{R_y\} = \underbrace{\mathcal{F}\{h\}}_{H(\omega)} \cdot \underbrace{\mathcal{F}\{h^*(-t)\}}_{H^*(\omega)} \cdot \underbrace{\mathcal{F}\{R_s\}}_{P_S(\omega)} + \underbrace{\mathcal{F}\{R_n\}}_{P_N(\omega)}$$ここで $\mathcal{F}\{h^*(-t)\} = H^*(\omega)$（時間反転と複素共役がフーリエ変換の共役に対応する）。したがって：
\begin{equation} P_Y(\omega) = |H(\omega)|^2 P_S(\omega) + P_N(\omega) \end{equation}ステップ2: 相互相関のフーリエ変換
目標信号 $d = s$ と観測信号 $y$ の相互相関 $R_{sy}(\tau) = E[s(t) y^*(t-\tau)]$ を計算する：
\begin{align} R_{sy}(\tau) &= E\!\left[s(t) \left(\int h^*(v) s^*(t-\tau-v) dv + n^*(t-\tau)\right)\right] \nonumber \\ &= \int h^*(v) \, E[s(t) s^*(t-\tau-v)] \, dv + \underbrace{E[s(t) n^*(t-\tau)]}_{=\,0} \nonumber \\ &= \int h^*(v) \, R_s(\tau + v) \, dv \end{align}最後の等号では $E[s(t)s^*(t-\tau-v)] = R_s(\tau+v)$ を用いた（$u=0$ としたステップ1と同じ論法）。この積分は $R_s(\tau)$ と $h^*(-v)$ の畳み込みであるから、フーリエ変換すると：
\begin{equation} P_{SY}(\omega) = \underbrace{\mathcal{F}\{h^*(-t)\}}_{H^*(\omega)} \cdot \underbrace{\mathcal{F}\{R_s\}}_{P_S(\omega)} = H^*(\omega) \, P_S(\omega) \end{equation}ステップ3: Wiener-Hopf 方程式のフーリエ変換
最適フィルタのインパルス応答を $g(\tau)$ とする。推定信号は $\hat{s}(t) = \int g(\tau') y(t-\tau') d\tau'$ である。第2章の Wiener-Hopf 方程式 $\boldsymbol{R}\boldsymbol{w} = \boldsymbol{p}$ は、定常過程では行列の各成分 $R_{ij}$ が時間差 $i-j$ のみに依存するため（Toeplitz 構造）、行列とベクトルの積が畳み込みになる：
\begin{equation} \int_{-\infty}^{\infty} R_y(\tau - \tau') \, g(\tau') \, d\tau' = R_{sy}(\tau) \label{eq:convolution} \end{equation}左辺は $R_y$ と $g$ の畳み込みであるから、畳み込み定理によりフーリエ変換すると積に変わり、周波数ごとに分離したスカラー方程式になる：
\begin{equation} P_Y(\omega) \cdot G(\omega) = P_{SY}(\omega) \end{equation}ステップ1, 2 の結果を代入して $G(\omega)$ について解くと：
\begin{equation} G(\omega) = \frac{P_{SY}(\omega)}{P_Y(\omega)} = \frac{H^*(\omega) P_S(\omega)}{|H(\omega)|^2 P_S(\omega) + P_N(\omega)} \end{equation}これは式\eqref{eq:wiener_freq}と完全に一致する。
等価性の本質
時間領域の Wiener-Hopf 方程式は定常過程では畳み込み方程式であり、フーリエ変換により周波数ごとに分離したスカラー方程式 $P_Y(\omega) G(\omega) = P_{SY}(\omega)$ に帰着する。すなわち、ある周波数 $\omega$ での $G(\omega)$ は他の周波数の値に依存せず単独で求まる。これが周波数領域の Wiener フィルタに他ならない。
結論
周波数領域と時間領域のWienerフィルタは、フーリエ変換を介して完全に等価である。 両者は同じ最適解の異なる表現に過ぎない。
3. 解釈
3.1 周波数領域の視点
- 各周波数成分を独立に処理
- SNRが高い周波数は通過、低い周波数は減衰
- 直感的に理解しやすい
3.2 時間領域の視点
- 有限長のデータで直接計算可能
- 適応フィルタへの拡張が自然
- 因果性の制約を扱いやすい
3.3 使い分け
周波数領域が適している場合：
- 定常過程で長いデータがある
- スペクトル特性が明確に分かっている
- 非因果フィルタが許容される
時間領域が適している場合：
- 短いデータや非定常信号
- リアルタイム処理が必要
- 因果フィルタが必須
- 適応的に係数を更新したい
4. まとめ
要点
- 周波数領域と時間領域のWienerフィルタは、フーリエ変換で結ばれた等価な表現である
- どちらも直交性原理（誤差と観測の無相関条件）から導かれる
- 問題の性質や制約に応じて適切な領域を選択すればよい