数列 入門

等差数列・等比数列・$\Sigma$ 記号（高校数学レベル）

入門の概要

等差数列 等比数列 数列の和を効率的に計算
$a_n = a + (n-1)d$
$a_n = a r^{n-1}$
$\Sigma$ 記号と公式
$\sum k,\ \sum k^2,\ \sum k^3$

図1：入門トピックの関係図（等差・等比数列から $\Sigma$ 記号へ）

入門では、高校数学で学ぶ数列の基礎を学ぶ。等差数列・等比数列の一般項と和の公式、そして $\Sigma$ 記号を用いた計算技法を習得する。

学習目標

  • 等差数列の一般項と和の公式を理解し、証明できる
  • 等比数列の一般項と和の公式を理解し、証明できる
  • $\Sigma$ 記号の使い方と基本公式（$\displaystyle\sum k$, $\displaystyle\sum k^2$, $\displaystyle\sum k^3$）を理解する

目次

  1. 第1章 等差数列

    一般項、和の公式、等差中項

  2. 第2章 等比数列

    一般項、和の公式、等比中項、無限等比級数

  3. 第3章 $\Sigma$ 記号と公式

    $\Sigma$ の定義、$\displaystyle\sum k$、$\displaystyle\sum k^2$、$\displaystyle\sum k^3$ の公式と証明

前提知識

  • 文字式の計算、因数分解
  • 方程式・不等式の基礎

基本公式

等差数列の公式

$$a_n = a + (n-1)d$$ $$S_n = \dfrac{n(a + l)}{2} = \dfrac{n\{2a + (n-1)d\}}{2}$$

ここで $a$ は初項、$d$ は公差、$l = a_n = a + (n-1)d$ は末項（第 $n$ 項）を表す。

等比数列の公式

$$a_n = ar^{n-1}$$ $$S_n = \dfrac{a(1 - r^n)}{1 - r} \quad (r \neq 1)$$

ここで $a$ は初項、$r$ は公比（隣り合う項の比）を表す。

$\Sigma$ 公式

$$\displaystyle\sum_{k=1}^{n} k = \dfrac{n(n+1)}{2}$$ $$\displaystyle\sum_{k=1}^{n} k^2 = \dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6}$$ $$\displaystyle\sum_{k=1}^{n} k^3 = \left\{\dfrac{n(n+1)}{2}\right\}^2$$