数列入門

等差数列・等比数列・$\Sigma$ 記号（高校数学レベル）

入門の概要

$a_n = a + (n-1)d$

$a_n = a r^{n-1}$

$\Sigma$ 記号と公式

$\sum k,\ \sum k^2,\ \sum k^3$

図1：入門トピックの関係図（等差・等比数列から $\Sigma$ 記号へ）

入門では、高校数学で学ぶ数列の基礎を学ぶ。等差数列・等比数列の一般項と和の公式、そして $\Sigma$ 記号を用いた計算技法を習得する。

学習目標

等差数列の一般項と和の公式を理解し、証明できる
等比数列の一般項と和の公式を理解し、証明できる
$\Sigma$ 記号の使い方と基本公式（$\displaystyle\sum k$, $\displaystyle\sum k^2$, $\displaystyle\sum k^3$）を理解する

前提知識

文字式の計算、因数分解
方程式・不等式の基礎

基本公式

等差数列の公式

$$a_n = a + (n-1)d$$ $$S_n = \dfrac{n(a + l)}{2} = \dfrac{n\{2a + (n-1)d\}}{2}$$

ここで $a$ は初項、$d$ は公差、$l = a_n = a + (n-1)d$ は末項（第 $n$ 項）を表す。

等比数列の公式

$$a_n = ar^{n-1}$$ $$S_n = \dfrac{a(1 - r^n)}{1 - r} \quad (r \neq 1)$$

ここで $a$ は初項、$r$ は公比（隣り合う項の比）を表す。

$\Sigma$ 公式

$$\displaystyle\sum_{k=1}^{n} k = \dfrac{n(n+1)}{2}$$ $$\displaystyle\sum_{k=1}^{n} k^2 = \dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6}$$ $$\displaystyle\sum_{k=1}^{n} k^3 = \left\{\dfrac{n(n+1)}{2}\right\}^2$$

よくある質問

数列の入門編で学ぶ内容は何ですか？

等差数列・等比数列・Σ記号と公式・漸化式という4つの基本的な数列のトピックを学びます。高校数学の数列の基礎で、大学の解析学（極限・収束・級数）への橋渡しになります。

数列と関数の違いは何ですか？

関数は連続な変数 $x$ に対して値 $f(x)$ を対応させますが、数列は自然数（または整数）の添字 $n$ に対して値 $a_n$ を対応させます。数列は「離散的な関数」ともいえます。関数の極限 $\lim_{x\to\infty}$ に対応する数列の極限 $\lim_{n\to\infty} a_n$ が重要概念です。

等差数列と等比数列の実生活での応用例を教えてください。

等差数列：座席番号・階段のステップ高・等速直線運動の位置。等比数列：複利計算（元金×$(1+r)^n$）・放射性崩壊（半減期ごとに半分）・音楽の音程（オクターブは周波数が2倍）・インターネットのTCP輻輳制御などが代表的な例です。

読み物

自然に隠れた数列 ― フィボナッチと黄金比［読み物］ — 足すだけの単純な規則から黄金比が立ち上がり、ひまわりや松ぼっくりに顔を出す不思議を気軽に語る。
少年ガウスの一瞬の足し算 ― 1から100までを暗算した物語［読み物］ — 両端からペアにするだけの一手が、なぜ等差数列の和の公式そのものなのかを逸話とともに語る。