数値解析 中級

中級の概要

中級では、数値線形代数と常微分方程式の数値解法を学ぶ。連立一次方程式の解法、固有値計算、そして微分方程式を数値的に解く手法を習得する。

目次

直接法（行列分解）

• 1. LU分解 — $A = LU$ への分解、三角方程式の解法
• 2. Cholesky分解 — 対称正定値行列の分解、数値的安定性
• 3. LDL分解 — 平方根不要の対称行列分解、Bunch-Kaufmanピボット
• 4. QR分解 — Gram-Schmidt法、Householder変換、Givens回転
• 5. 特異値分解 (SVD) — 低ランク近似、PCA、画像圧縮

条件数と誤差解析

• 6. 条件数と誤差解析 — 条件数 $\kappa(A)$、悪条件行列、誤差の伝播

反復法（連立方程式）

• 7. 反復法 — ヤコビ法、ガウス・ザイデル法、SOR法、収束条件

固有値問題

• 8. 固有値問題 — べき乗法、逆反復法、QR法、固有値の感度
• 9. べき乗法と逆反復法 — シフト付き逆反復法、レイリー商反復法
• 10. Wilkinson シフト — 対称 QR 法の最適シフト戦略、3次収束

補間と近似

• 11. 近似理論 — 最良近似、$L^2$/$L^\infty$ノルム、チェビシェフ近似、Remez交換定理
• 12. Padé近似 — 有理関数による近似、連分数展開
• 13. Bスプライン — Cox-de Boor の再帰式、ノットベクトル、NURBS

常微分方程式

• 14. 常微分方程式の数値解法 — 改良オイラー法、局所打切り誤差
• 15. ルンゲ・クッタ法 — RK4、ブッチャー表、埋め込み型公式、刻み幅制御
• 16. 安定性解析 — 絶対安定性、A安定性、硬い方程式、陰的方法

非線形方程式

• 17. 多項式の求根（複素根） — Aberth-Ehrlich法、同時反復
• 18. スツルム列と実根の計数 — スツルムの定理、符号変移、根の分離
• 19. Brent法 — 二分法と逆二次補間のハイブリッド
• 20. 多変数ニュートン法 — ヤコビ行列、2次収束、グローバル化手法
• 21. Broyden法 — ヤコビ行列の準ニュートン近似

最適化

• 22. 数値最適化の基礎 — 最適性条件、最急降下法、収束の速さ
• 23. 1次元探索 — 黄金分割法、Armijo条件、Wolfe条件
• 24. 共役勾配法 — Fletcher-Reeves法、Polak-Ribière法
• 25. 準ニュートン法 — BFGS法、DFP法、L-BFGS
• 26. 非線形最小二乗法 — ガウス・ニュートン法、レーベンバーグ・マルカート法

FFTと変換

• 27. 循環畳み込み — DFTの畳み込み定理、overlap-add・overlap-save法

LU分解の可視化

行列 $A$ を下三角行列 $L$ と上三角行列 $U$ の積に分解する。

オイラー法の可視化

複素根の同時反復法

Aberth-Ehrlich法は、すべての根を同時に更新し、互いに反発させながら収束させる。

前提知識

• 数値解析 初級の内容
• 線形代数（行列、固有値）
• 微分方程式の基礎