数値解析 初級

初級の概要

初級では、大学初年度で学ぶ数値解析の基礎を扱う。コンピュータが数を表現する仕組み（浮動小数点数）を理解し、方程式の求解、補間、数値積分の標準的なアルゴリズムを学ぶ。

目次

誤差と数の表現

• 浮動小数点数 — IEEE 754規格、正規化数の仕組み
• IEEE 754 — 単精度・倍精度の詳細、特殊値（NaN, Inf）
• 計算機イプシロン — $\varepsilon_{\mathrm{mach}}$ の定義と求め方
• 有効数字と丸め誤差 — 有効桁数の数え方
• 絶対誤差 — $|x - \hat{x}|$ の定義と性質
• 相対誤差 — $|x - \hat{x}|/|x|$ の定義と応用
• 打ち切り誤差 — 離散化・級数の打ち切りによる誤差
• 丸め誤差 — 有限桁表現に起因する誤差

計算の落とし穴

• 桁落ち — 近い値の差で有効桁が消える現象
• 情報落ち — 大小の数の加算で小さい方が無視される
• オーバーフローとアンダーフロー — 表現範囲を超える場合の対処
• 数値安定性 — 前方安定・後方安定の概念

非線形方程式の求根法

• 二分法 — 最も基本的な求根法、確実だが低速
• ニュートン法 — $x_{n+1} = x_n - f(x_n)/f'(x_n)$、2次収束
• 割線法 — 導関数不要の超線形収束法
• はさみうち法（偽位法） — 二分法を線形補間で改良
• 不動点反復法 — $x = g(x)$ の反復、縮小写像定理

補間と近似

• 補間法（概要） — ラグランジュ補間、ニュートン差分商、補間誤差
• ラグランジュ補間多項式 — 基底多項式による構成
• ニュートンの差分商補間 — 差分商表による効率的な計算
• 差分商 — 差分商の定義・性質・再帰的計算
• スプライン補間 — 区分的多項式、3次スプライン
• ホーナー法 — 多項式の効率的な評価アルゴリズム

数値微分

• 前進差分 — $f'(x) \approx (f(x+h) - f(x))/h$
• 後退差分 — $f'(x) \approx (f(x) - f(x-h))/h$
• 中心差分 — $f'(x) \approx (f(x+h) - f(x-h))/(2h)$、2次精度

数値積分

• 数値積分（概要） — 台形則・シンプソン則・複合公式
• 台形公式 — 最も基本的な数値積分、$O(h^2)$
• シンプソンの公式 — 2次補間による $O(h^4)$ の精度
• ニュートン＝コーツ公式 — 等間隔節点に基づく求積公式の一般論
• ガウス求積法 — 最適な求積点と重みの選び方

連立一次方程式

• ガウスの消去法 — 前進消去と後退代入、アニメーション付き計算例
• ガウス＝ジョルダン消去法 — 被約行階段形への変換
• ピボット選択 — 部分・完全・有理数ピボット
• 前進代入 — 下三角行列の求解
• 後退代入 — 上三角行列の求解
• クラメルの公式 — 行列式による連立方程式の解法

ノルム

• ベクトルノルム — 1-ノルム、2-ノルム、$\infty$-ノルム
• 行列ノルム — フロベニウスノルム、スペクトルノルム

常微分方程式の数値解法

• オイラー法 — 前進・後退・改良オイラー法、安定性解析

その他

• アルゴリズムの計算量 — $O$ 記法、時間計算量と空間計算量

ニュートン法の可視化

ニュートン法は、接線を使って解に高速に近づく方法である。

スプライン補間の可視化

前提知識

• 数値解析 入門の内容
• 微分積分学の基礎
• テイラー展開の知識