線形代数 中級

1. 第1章 対角化

   対角化可能条件、手順、行列の冪乗、指数関数

2. 第2章 複素固有値

   複素固有値と回転、実行列の複素固有値、振動系

3. 第3章 多項式空間

   $\mathcal{P}_n$ の基底、微分作用素、線形写像としての多項式演算

4. 第4章 関数空間

   $C[a,b]$、$L^2$空間、無限次元ベクトル空間、内積

5. 第5章 行列式：なぜLeibniz公式か

   幾何学的動機から Leibniz 公式を導出

6. 第6章 行列式：線形変換の観点

   スケーリング因子、IOLA（Introduction to Linear Algebra）的アプローチ

7. 第7章 行列式：バーを積み上げる

   行ベクトルを1本ずつ追加する視点

8. 第8章 行列式の導出：行基本変形と上三角行列

   上三角行列への変形、計算アルゴリズム

9. 第9章 テンソル

   多次元配列、テンソル積、縮約、PyTorch での実装

10. 第10章 ノルム

    L1/L2/L∞ノルム、行列ノルム、正則化への応用

11. 第11章 内積

    公理的定義、射影、コサイン類似度、Attention 機構

12. 第12章 線形変換

    定義、行列表現、核・像、階数定理

13. 第13章 核と像

    部分空間の証明、基底構成、次元定理

14. 第14章 固有値と機械学習

    PCA、スペクトラルクラスタリング、PageRank

15. 第15章 行列分解の応用

    SVD/NMF/Tucker分解、推薦システム、潜在意味解析

16. 第16章 パウリ行列と量子ビット

    Pauli 行列、量子ゲート、Bloch 球

17. 第17章 テンソル積と多量子ビット系

    Kronecker 積、量子もつれ、多量子ビットゲート

18. 第18章 行列式：Leibniz公式と厳密な証明

    置換と符号、Leibniz公式による定義、多重線形性・交代性

19. 第19章 行列式：公理的定義と一意性

    公理から始めて行列式の存在と一意性を証明

20. 第20章 固有値の応用

    連立微分方程式、マルコフ連鎖、PCA、Google PageRank

コラム

• 行列式の計算史 ── 手計算から最先端アルゴリズムへ

  関孝和・Leibniz（1683年）から現代の高速行列乗算（ω → 2?）まで、340年の系譜を辿る

特殊行列・分解

• ヘッセンベルグ変換

  「ほぼ三角行列」への変換。QRアルゴリズムの前処理として固有値計算を高速化する

• 同伴行列（コンパニオン行列）

  多項式の根と行列の固有値を結びつける。フロベニウス標準形の構成要素

• 三重対角行列

  帯幅1の疎行列。Thomas アルゴリズムによる O(n) 直接解法と固有値計算の前処理

• Householder 変換（鏡映変換）

  超平面に関する鏡映による直交変換。QR分解・ヘッセンベルグ変換・三重対角化の基盤

• LU分解

  下三角×上三角への分解。存在条件・一意性の証明、PLU分解、行列式との関係

• コレスキー分解

  正定値対称行列の A = LL^T 分解。存在と一意性、LDL^T 分解、正定値性の判定

• 特異値分解（SVD）

  任意の行列の A = UΣV^T 分解。幾何学的意味、擬似逆行列、低ランク近似

• 二次形式

  Q(x) = x^TAx の分類。主軸定理、シルベスターの慣性法則、極値判定への応用

• 相似変換

  基底の取り替えによる行列の変換。相似不変量、対角化・ジョルダン標準形との関係

• 正規方程式

  最小二乗法の基礎。射影定理による導出、コレスキー分解・QR分解による数値解法

• 対称正定値行列

  二次形式、正定値・半正定値の定義、シルベスターの判定法、Cholesky分解との関係