ラプラス変換 入門

ラプラス変換は関数 $f(t)$（$t\geq 0$）を $F(s)=\int_0^\infty f(t)e^{-st}dt$ で定義される複素関数 $F(s)$ に変換します。微分が $\mathcal{L}\{f'(t)\}=sF(s)-f(0)$ のように「$s$ 倍と初期値」からなる代数式に変わるため、常微分方程式（ODE）を代数方程式として扱えます。フーリエ変換とは密接に関係しますが、この片側の定義で $s=j\omega$ と置いて得られるのは $\int_0^\infty f(t)e^{-j\omega t}dt$ で、これは $t<0$ で $f(t)=0$ とみなした因果信号のフーリエ変換にあたります（虚軸が収束域に含まれるとき）。積分区間を $-\infty$ から取る両側ラプラス変換なら、フーリエ変換は虚軸 $s=j\omega$ 上の値としてそのまま得られます。

制御工学（伝達関数 $H(s)=Y(s)/U(s)$、ナイキスト安定判別法、周波数応答）、信号処理（フィルタの周波数特性解析）、電気回路（RLC回路の過渡応答・インピーダンス計算）、微分方程式の解析（初期値問題の系統的解法）などで広く使われます。

素朴な積分の形では、フーリエ変換 $\hat{f}(\omega)=\int_{-\infty}^{\infty} f(t)e^{-j\omega t}dt$ は実数全体で可積分な関数に対して導入されます（$L^2$ 関数への Plancherel の意味での拡張や、超関数への拡張もありますが、入門の範囲を越えます）。一方ラプラス変換 $F(s)=\int_0^\infty f(t)e^{-st}dt$ は $s=\sigma+j\omega$ の実部による減衰因子 $e^{-\sigma t}$ を含むため、指数関数的に増大する関数や、$t=0$ から始まる因果信号も扱えます。

Z変換は、ラプラス変換に対応する離散時間信号のための変換です。連続時間系を周期 $T$ で標本化して考えると $z=e^{sT}$ という対応が現れ、$s$ 平面の左半平面は $z$ 平面の単位円の内部に写ります。連続系の安定条件（左半平面の極）が離散系では $|z|<1$（単位円内）になるのは、このためです。