フーリエ解析
Fourier Analysis
フーリエ解析について
フーリエ解析は、複雑な関数や信号を単純な正弦波（サイン波・コサイン波）の重ね合わせとして表現する数学的手法である。音声処理、画像処理、量子力学、熱伝導など、科学技術のあらゆる分野で不可欠な道具となっている。
本シリーズでは、高校数学レベルの入門から大学院レベルの上級まで、4段階でフーリエ解析を体系的に学ぶ。
レベル別学習ガイド
入門
高校数学レベル
三角関数の復習から始め、周期関数の概念、フーリエ級数の直感的理解までを学ぶ。波の重ね合わせという物理的イメージを大切にしながら、基本的な計算ができるようになる。
- 三角関数の復習
- 周期関数とは
- 波の重ね合わせ
- フーリエ級数入門
- 簡単な関数の展開
- 収束の直感的理解
全6章
初級
大学1-2年レベル
フーリエ級数の厳密な定義と計算法を学ぶ。フーリエ係数の公式、パーセバルの等式、各種収束定理を理解し、実際の問題に適用できるようになる。
- フーリエ級数の定義
- フーリエ係数の計算
- 偶関数・奇関数の展開
- パーセバルの等式
- 収束定理
- ギブズ現象
全7章
中級
大学3-4年レベル
フーリエ変換を導入し、連続スペクトルの世界へ進む。畳み込み、サンプリング定理、離散フーリエ変換（DFT）、高速フーリエ変換（FFT）を学び、実用的な応用に備える。
- フーリエ変換の定義
- フーリエ変換の性質
- 畳み込み定理
- サンプリング定理
- 離散フーリエ変換
- 高速フーリエ変換
- 窓関数とスペクトル漏れ
全8章
上級
大学院レベル
$L^2$ 空間におけるフーリエ解析、超関数（分布）のフーリエ変換、多変数フーリエ解析、ウェーブレット変換を学ぶ。偏微分方程式への応用や調和解析の基礎にも触れる。
- $L^2$ 空間とヒルベルト空間
- 超関数のフーリエ変換
- 多変数フーリエ変換
- 偏微分方程式への応用
- ウェーブレット変換
- 調和解析入門
全7章
学習ロードマップ
入門
三角関数と波
→
初級
フーリエ級数
→
中級
フーリエ変換・DFT
→
上級
関数解析・応用
前提知識
- 入門：中学数学の基礎、三角比
- 初級：入門の内容、微分積分の基礎
- 中級：初級の内容、複素数、広義積分
- 上級：中級の内容、ルベーグ積分、関数解析の基礎