微分

Differential Calculus

微分とは

微分は関数の変化率を調べる数学の分野で、瞬間の速度や最適化問題など、科学・工学のあらゆる分野で使われる重要な概念である。

微分の基本概念：接線の傾き x y 接点 接線の傾き = f'(a) y = f(x) 微分係数 f'(a) は点 x=a における接線の傾き

本シリーズでは、高校数学レベルの入門から大学院レベルの上級まで、4段階で微分を体系的に学ぶ。

レベル別コンテンツ

入門

微分の基礎から応用まで

  • 極限と微分の定義
  • 基本的な微分公式
  • 積・商・合成関数の微分
  • 三角・指数・対数関数
  • テイラー展開
  • 関数の解析と最適化
高校レベル

初級

多変数微分への拡張

  • 偏微分・全微分
  • 多変数の連鎖律
  • 多変数の極値問題
  • ラグランジュ乗数法
  • 微分方程式入門
  • ε-δ論法による厳密化
大学1-2年

中級

ベクトル解析と微分方程式

  • 勾配・発散・回転
  • 曲線と曲面の微分幾何
  • 2階線形微分方程式
  • 級数解法
  • 連立微分方程式
  • 力学系の基礎
大学3-4年

上級

解析学の深化と一般化

  • 微分形式
  • 偏微分方程式
  • ソボレフ空間と弱解
  • 変分法
  • リーマン幾何入門
  • 現代解析学との接点
大学院レベル

関連する主な項目

入門 極限・微分係数 初級 微分公式 中級 定理・応用 上級 多変数・厳密化 微分係数 f'(a) 極限 連続性 平均値定理 テイラー展開 偏微分 微分方程式

入門で学ぶ基本公式

基本定義

$$f'(a) = \lim_{h \to 0} \frac{f(a+h) - f(a)}{h}$$

べき関数

$$(x^n)' = nx^{n-1}$$

指数・対数

$$(e^x)' = e^x$$

$$(\ln x)' = \frac{1}{x}$$

三角関数

$$(\sin x)' = \cos x$$

$$(\cos x)' = -\sin x$$

積の微分

$$(fg)' = f'g + fg'$$

合成関数

$$(f \circ g)' = (f' \circ g) \cdot g'$$

前提知識

  • 入門：中学数学の基礎、関数の概念
  • 初級：入門の内容、線形代数の基礎
  • 中級：初級の内容、線形代数（行列・固有値）
  • 上級：中級の内容、実解析、線形代数