組合せ論 入門

場合の数と確率（高校数学レベル）

入門の概要

場合の数 和の法則 積の法則 順列・組合せ 二項定理 確率
$_nP_r$, $_nC_r$
$n!$
$(a+b)^n$
$P(A) = \dfrac{|A|}{|U|}$

入門では、高校数学で学ぶ「場合の数」と「確率」の基礎を学ぶ。「数える」という基本的な操作を通じて、組合せ論的思考の入り口を理解する。

学習目標

  • 和の法則・積の法則を理解し使いこなす
  • 順列と組合せの違いを理解し計算できる
  • 二項定理を理解し展開できる
  • 確率の基本概念を理解する

目次

  1. 第1章 場合の数

    和の法則、積の法則、樹形図

  2. 第2章 順列

    順列の定義、階乗、円順列

  3. 第3章 組合せ

    組合せの定義、二項係数、パスカルの三角形

  4. 第4章 二項定理

    二項展開、多項定理

  5. 第5章 確率の基礎

    確率の定義、加法定理、余事象

  6. 第6章 条件付き確率

    条件付き確率、乗法定理、独立性

前提知識

  • 中学数学の計算力
  • 集合の基本概念

基本公式

順列（Permutation）

$$_nP_r = \frac{n!}{(n-r)!} = n(n-1)(n-2)\cdots(n-r+1)$$

$n$個から$r$個を選んで並べる場合の数

組合せ（Combination）

$$_nC_r = \binom{n}{r} = \frac{n!}{r!(n-r)!}$$

$n$個から$r$個を選ぶ場合の数（順序を考えない）

二項定理

$$(a+b)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} a^{n-k} b^k$$

参考資料