第3章: 円錐曲線の代数的記述

円錐から代数まで

古代ギリシャの Apollonius (紀元前 3 世紀) は 円錐を平面で切った断面として円・楕円・双曲線・放物線を統一的に扱った。 切り口の傾きを変えると次のように異なる曲線が現れる:

• 底面と平行 → 円
• 傾けて両側を切る → 楕円
• 母線と平行 → 放物線
• 軸と平行 (両側の円錐を切る) → 双曲線 (2 本の枝を持つ)

円 — 軸に垂直に切る

楕円 — 母線より緩く斜めに切る

放物線 — 母線に平行に切る

双曲線 — 軸に平行に切る (両側)

17 世紀に Descartes が座標平面を導入した後、 これらすべてが 2 変数 2 次多項式の零点として書けることが明らかになった:

$$ax^2 + bxy + cy^2 + dx + ey + g = 0$$

つまり 「幾何学的な円錐の切り口」 = 「代数学的な 2 次曲線」という対応は、 代数幾何学の最初の大きな成果である。

標準形 (canonical form)

適切な座標変換 (平行移動 + 回転) によって、 2 次曲線は 標準形と呼ばれる簡潔な形に書き換えられる。 結果は次の 3 種類のいずれか (退化形を除く):

楕円 (中心が原点、 軸が座標軸に沿う場合)

$$\dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1 \quad (a, b > 0)$$

$a = b$ なら円。 $a > b$ なら長軸が $x$ 軸方向、 短軸が $y$ 軸方向の楕円。

放物線

$$y^2 = 4px \quad (p > 0)$$

または $y = ax^2$ の形 (これは $x$ と $y$ の役割を入れ替えただけ)。 焦点 1 個と準線 1 本で定義される対称図形。

双曲線

$$\dfrac{x^2}{a^2} - \dfrac{y^2}{b^2} = 1 \quad (a, b > 0)$$

2 本の枝を持つ。 漸近線 $y = \pm \dfrac{b}{a} x$ に近づく。

判別式による分類

一般形 $ax^2 + bxy + cy^2 + dx + ey + g = 0$ が楕円・双曲線・放物線のどれに対応するかは、 判別式

$$\Delta = b^2 - 4ac$$

の符号で決まる:

この命名は偏微分方程式の 2 階線形 PDE の分類 (楕円型・放物型・双曲型) と同じで、 同じ判別式が使われる。 これは偶然ではなく、 PDE の特性方程式が 2 次曲線になることに由来する。

確認例

(1) $x^2 + y^2 = 1$ (円): $a = c = 1, b = 0$, $\Delta = 0 - 4 = -4 < 0$ → 楕円型 ✓

(2) $y - x^2 = 0$ (放物線 $y = x^2$): 2 次の項は $-x^2$ のみで $a = -1, b = c = 0$, $\Delta = 0 - 0 = 0$ → 放物型 ✓

(3) $x^2 - y^2 = 1$ (双曲線): $a = 1, c = -1, b = 0$, $\Delta = 0 + 4 = 4 > 0$ → 双曲型 ✓

(4) $xy = 1$ (直角双曲線): $a = c = 0, b = 1$, $\Delta = 1 > 0$ → 双曲型 ✓

退化円錐曲線

「2 次方程式の零点」 は必ずしも普通の意味の楕円・双曲線・放物線になるとは限らない。 退化した形:

• 2 直線の合併: $x^2 - y^2 = 0$ ⇔ $(x - y)(x + y) = 0$ → 2 直線 $y = x, y = -x$ の合併。 判別式 $\Delta = 0 - 0 = 0$ だが放物線ではない
• 1 直線 (二重): $x^2 = 0$ ⇔ $y$ 軸が「2 重に」 描かれた直線
• 1 点: $x^2 + y^2 = 0$ → 実数解は $(0, 0)$ のみ。 判別式 $\Delta = -4 < 0$ で「楕円型」 だが、 楕円の極限としての 1 点
• 空集合: $x^2 + y^2 + 1 = 0$ → 実数解なし

これらの退化形は、 古典代数幾何の文脈では「楕円・双曲線・放物線の極限ケース」 として自然に出現する。 また 射影幾何学に移ると見え方が変わり、 例えば「平行な 2 直線」 と「交わる 2 直線」 の違いが消える。 詳細は中級で扱う。

5 点が定める 2 次曲線

2 次曲線 $ax^2 + bxy + cy^2 + dx + ey + g = 0$ は 6 個の係数 $a, b, c, d, e, g$ を持つが、 全体に定数倍しても同じ曲線なので、 自由度は 5。 したがって 一般の位置にある 5 点を指定すれば、 それらを通る 2 次曲線は (一般には) 一意に定まる。

これは線型代数の問題に帰着できる: 5 点 $(x_i, y_i)$ ($i = 1, \ldots, 5$) を通る条件は、 各係数についての 5 本の連立 1 次方程式

$$a x_i^2 + b x_i y_i + c y_i^2 + d x_i + e y_i + g = 0 \quad (i = 1, \ldots, 5)$$

これが 6 個の未知数についての 5 本の方程式なので、 一般には解空間が 1 次元 (定数倍を除いて 1 通り) になる。

この「5 点で 2 次曲線が決まる」 という事実は、 例えば射影幾何の Pascal の定理や Steiner の作図問題に応用される。

次のステップ

ここまでで 1 次曲線 (直線) と 2 次曲線 (円錐曲線) を多項式の言葉で記述できるようになった。 入門編はここまで。 中級編では:

• 多変数の場合 (3 次元以上のアフィン代数多様体)
• 射影空間と射影多様体の導入
• 多項式の集合とイデアルの対応 (Hilbert の基底定理)
• ザリスキー位相と既約分解

に進む。 また初級編 (basic/) の 古典代数幾何学 は本記事の続きとして読める。