入門

代数幾何学 入門

多項式と曲線で出会う代数幾何学 (高校〜大学 1 年レベル)

この章で学ぶこと

代数幾何学とは「多項式方程式の零点として図形を捉える」 数学分野。 入門編では 具体的な平面曲線から始め、 円・楕円・双曲線・放物線等を多項式の言葉で記述する練習をする。 高校で学ぶ「2 次曲線」 は実はすべて代数幾何学の入口である。

前提知識

  • 高校数学 II の式と方程式 (多項式の積・因数分解)
  • 高校数学 II の図形と方程式 (直線・円の方程式)
  • 高校数学 III の 2 次曲線 (楕円・双曲線・放物線) — 任意

目次

  1. 第1章 代数幾何学とは何か

    多項式の零点で図形を捉える視点、 古典 AG と現代 AG の関係

  2. 第2章 多項式と平面代数曲線

    直線・円・3 次曲線等を多項式 $f(x, y) = 0$ で書く流儀

  3. 第3章 円錐曲線の代数的記述

    楕円・双曲線・放物線を統一的に 2 次曲線 $ax^2 + bxy + cy^2 + \cdots = 0$ で扱う

到達目標

  • 「多項式の零点集合 = 図形」 という代数幾何学の基本視点を理解する
  • 平面上の直線・円・2 次曲線を多項式で表現できる
  • 円錐曲線の分類が判別式 $b^2 - 4ac$ で決まることを理解する
  • 高校数学の図形が代数幾何学への入口になることを実感する

読み物

  1. 図形を数式に翻訳する ― デカルトと座標の夢 ［読み物］

    なぜ曲線は方程式で書けるのか。座標を引いた一手が、図形を数式に翻訳し、代数で幾何を解く夢を開いた話を、肩の力を抜いて語る。

  2. 曲線はいくつで交わるか ― 交点を数えるという発想 ［読み物］

    直線と円はなぜ二点までなのか。曲線の出会う回数は、絵を描く前に式の次数だけで見当がつく。交点を数えるという楽しみ方を、ベズーの定理まで気軽に語る。