代数 初級
抽象代数学への入門：群・環・体（大学1-2年レベル）
初級の概要
初級では、大学数学の「抽象代数学」（現代代数学）の基礎を学ぶ。数の構造を一般化し、群・環・体といった代数的構造を理解する。
学習目標
- 群の定義と基本性質を理解する
- 具体的な群の例を通じて群論の感覚をつかむ
- 環と体の概念を理解する
- 多項式環の構造を学ぶ
- 体の拡大の基礎を学ぶ
目次
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第1章
群
群の定義、部分群、巡回群、置換群
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補章
剰余類と正規部分群
剰余類（coset）、Lagrangeの定理、正規部分群（normal subgroup）
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第2章
群の準同型
準同型写像、同型、剰余群、準同型定理
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第3章
環と体
環の定義、整域、体、イデアル
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補章
多項式
定義、除法の原理、因数定理、ヴィエトの公式、判別式、終結式
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第4章
多項式環
多項式環、既約多項式、体上の多項式環
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第5章
体の拡大
代数拡大、最小多項式、分離拡大
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第6章
練習問題
初級の総合演習
前提知識
- 代数 入門の内容（複素数、高次方程式）
- 集合と写像の基本概念
- 論理的な証明の基礎
「和」と「積」の代数的構造
代数学の根幹をなす二つの演算、「和」と「積」について、その共通性質と相互関係を概観する。
「和」の性質
「和」と呼ばれる演算の共通性質は結合法則と交換法則である。
和の基本性質
- 結合法則：\((X + Y) + Z = X + (Y + Z)\)
- 交換法則：\(X + Y = Y + X\)
- 単位元：\(X + 0 = X\) となる \(0\) が存在
- 逆元：\(X + (-X) = 0\) となる \(-X\) が存在
積との重要な違い：和は同じ型同士でないと定義できない。
- ベクトル + ベクトル = ベクトル ✓
- ベクトル + スカラー = ？ ✗（定義されない）
- 一方、積は異なる型でも可能：スカラー × ベクトル = ベクトル
様々な「和」の例：
- 数の加法：\(3 + 5 = 8\)、\((-2) + 7 = 5\)
- ベクトルの和：$\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 3 \\ -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 \\ 1 \end{pmatrix}$
- 行列の和：$\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 5 & 6 \\ 7 & 8 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6 & 8 \\ 10 & 12 \end{pmatrix}$
- 関数の和：\((f+g)(x) = f(x) + g(x)\)
- 集合の直和：\(A \oplus B\)（代数的構造の直和）
- 排他的論理和：XOR（\(\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}\) での加法）
「積」の性質
「積」と呼ばれる演算に共通するのは双線形性（bilinearity）である。
双線形性とは
写像 \(f: V \times V \to W\) が双線形であるとは、各引数について線形であること：
- \(f(aX + bY, Z) = a \cdot f(X, Z) + b \cdot f(Y, Z)\)
- \(f(Z, aX + bY) = a \cdot f(Z, X) + b \cdot f(Z, Y)\)
主な「積」の比較：
| 演算 | 双線形性 | 結合法則 | 交換法則 | 備考 |
|---|---|---|---|---|
| 通常の積 \(xy\) | ○ | ○ | ○ | |
| 行列積 \(AB\) | ○ | ○ | ✗ | |
| 内積 \(\langle X, Y \rangle\) | ○ | — | ○ | スカラーを返す |
| 外積 \(X \times Y\) | ○ | ✗ | ✗ | 反交換性あり |
| リー括弧 \([X, Y]\) | ○ | ✗ | ✗ | 反交換性 + ヤコビ恒等式 |
| テンソル積 \(X \otimes Y\) | ○ | ○ | ✗ | 次元が積になる |
| ウェッジ積 \(\omega \wedge \eta\) | ○ | ○ | ✗ | 微分形式の積 |
結合法則や交換法則は演算によって成り立たないことがあるが、双線形性はすべての「積」に共通している。これが「積」と呼ばれるための本質的な条件と言える。
※ 群の演算は双線形性を持たない（線形空間上で定義されるとは限らない）。「双線形性」は線形空間上の「積」に特有の性質である。