Concepts — 代数的コンセプト

概要

sangi::concepts 名前空間は、抽象代数学の主要な構造を C++20 コンセプト として定義する。 群・環・体・ベクトル空間・ヒルベルト空間などの代数的要件をコンパイル時に検証でき、 テンプレート引数の型制約を明示的に表現できる。

• コンパイル時型検証 — テンプレート引数が代数的要件を満たさない場合、明確なエラーメッセージが得られる
• 階層的設計 — AdditiveMonoid → AdditiveGroup → Ring → Field のように、数学的な包含関係を反映
• 40 以上のコンセプト — 基本演算、代数的構造、ベクトル空間、線形写像、数値型、行列・テンソル、代数・加群をカバー
• ヘッダオンリー — リンク不要。#include するだけで使用可能
• C++23 拡張 — SparseMatrixOf, BandMatrixOf, RealField, ComplexField などの追加コンセプト (C++23 モード)

数学的な公理 (結合律、交換律、分配法則など) はコンパイル時に検証できないため、 構文的要件 (演算子の存在、戻り値型の一致) のみを検査する。 意味的な正しさはユーザーの責任となる。

ヘッダ

#include <math/concepts/algebraic_concepts.hpp>

ヘッダオンリー。リンクするライブラリは不要。内部で <math/core/traits.hpp> をインクルードする。

名前空間: sangi::concepts

コンセプト階層

sangi の代数的コンセプトは数学的な包含関係を反映して階層化されている。 下図は主要な構造の包含関係を示す (矢印 A → B は「A は B の上位構造」、 すなわち B が A を満たすことを意味する)。

主要型の代数的構造

基本演算コンセプト

HasBasicArithmetic<T> 適合表

代数的構造

以下の包含関係が成り立つ:

unsigned 型に関する注意: unsigned int 等の符号なし整数型は AdditiveMonoid を満たすが、加法逆元 (-a) が数学的に閉じないため AdditiveGroup 以上の代数的構造 (Ring, Field 等) には適合しない。

「マーカー」について: 交換律・完備性・ゼロ因子の不在などの数学的性質はコンパイル時に検証できないため、これらのコンセプトは意図の表明 (マーカー) として機能する。 実行時チェックは行われず、型がその性質を満たすことはユーザーの責任となる。

Ring<T> 適合表

Field<T> 適合表

DivisionRing<T> 適合表

OrderedField<T> 適合表

ベクトル空間

ベクトル空間とその拡張。 スカラー型 S のデフォルトは double。

テンプレート引数

VectorSpace<V, S> 適合表

線形写像

テンプレート引数

数値型コンセプト

行列・テンソル

テンプレート引数

MatrixOf<M, T> 適合表

代数と加群

テンプレート引数

使用例

体で制約された汎用関数

#include <math/concepts/algebraic_concepts.hpp>
using namespace sangi::concepts;

// Field を満たす任意の型で動作する逆元計算
template<Field T>
T safe_inverse(const T& x) {
    if (x == T(0)) return T(0);  // ゼロ除算回避
    return T(1) / x;
}

// double, Float, Rational, Complex<double> で使用可能
auto inv_d = safe_inverse(3.14);
auto inv_r = safe_inverse(Rational(3, 7));
// 実行結果:
//   inv_d = 0.318471337579618
//   inv_r = 7/3
//   safe_inverse(0.0) = 0     (ゼロガード発火)

ベクトル空間のアルゴリズム

// VectorSpace を満たす型に対する線形結合
template<typename V, typename S>
    requires VectorSpace<V, S>
V linear_combination(S a, const V& v, S b, const V& w) {
    return a * v + b * w;
}
// 実行結果:
//   v = {1,2,3}, w = {4,5,6}, a = 2.0, b = 3.0
//   linear_combination = {14, 19, 24}

環の上での多項式評価

// Ring を満たす任意の型に対する Horner 法
template<Ring T>
T horner(const std::vector<T>& coeffs, const T& x) {
    T result = T{0};
    for (auto it = coeffs.rbegin(); it != coeffs.rend(); ++it) {
        result = result * x + *it;
    }
    return result;
}

// int, double, Int, Float, Rational で使用可能
std::vector<double> poly = {1.0, -2.0, 3.0}; // 3x^2 - 2x + 1
double val = horner(poly, 2.0); // = 9.0
// 実行結果: val = 9   (= 3·4 − 2·2 + 1)

四元数型の判定

// QuaternionType と DivisionRing を組み合わせた制約
template<typename T>
    requires QuaternionType<T> && DivisionRing<T>
auto rotation_axis(const T& q) {
    auto v_norm = std::sqrt(q.x * q.x + q.y * q.y + q.z * q.z);
    return std::make_tuple(q.x / v_norm, q.y / v_norm, q.z / v_norm);
}
// 実行結果:
//   Quaternion(0, 1, 2, 2) → axis = (1/3, 2/3, 2/3)、 |axis| = 1

コンセプトによるオーバーロード

// OrderedField: 比較可能な体 (double, Float, Rational)
template<OrderedField T>
T clamp(const T& x, const T& lo, const T& hi) {
    if (x < lo) return lo;
    if (x > hi) return hi;
    return x;
}

// Field: 比較不可の体も含む (Complex<double>)
template<Field T>
T midpoint(const T& a, const T& b) {
    return (a + b) / T(2);
}
// 実行結果:
//   clamp(2.5, 0, 1)         = 1
//   clamp(-0.3, 0, 1)        = 0
//   midpoint(1.0, 5.0)       = 3
//   midpoint(1+0i, 3+4i)     = 2+2i

コンセプト判定は static_assert サニティチェックで確認できる。