逆行列の固有値と固有ベクトル

逆行列の固有値と固有ベクトルを導きます。

はじめに

行列 $\boldsymbol{A}$ の固有値 $\lambda$ と固有ベクトル $\boldsymbol{v}$ は次式を満たします。 \begin{eqnarray} \boldsymbol{A} \boldsymbol{v} &=& \lambda \boldsymbol{v} \label{Avlv} \end{eqnarray}

導出

式(\ref{Avlv})の両辺に左から $\boldsymbol{A}^{-1}$ を掛けると \begin{eqnarray} \boldsymbol{v} &=& \lambda \boldsymbol{A}^{-1} \boldsymbol{v} \end{eqnarray} 両辺を $\lambda$ で割ると \begin{eqnarray} \frac{1}{\lambda}\boldsymbol{v} &=& \boldsymbol{A}^{-1} \boldsymbol{v} \end{eqnarray} 左右を入れ替えれば \begin{eqnarray} \boldsymbol{A}^{-1} \boldsymbol{v} &=& \frac{1}{\lambda}\boldsymbol{v} \label{Ainvv1Lv} \end{eqnarray} よって、$\boldsymbol{A}^{-1}$ の固有値は $\frac{1}{\lambda}$ であり、$\boldsymbol{A}$ の固有ベクトルは $\boldsymbol{A}^{-1}$ の固有ベクトルでもあることがわかります。

参考

式(\ref{Ainvv1Lv})より、$\boldsymbol{A}^{-1}$ に対して冪乗法を適用することで、絶対値最小の固有値を求めることができる。