ライプニッツ則 (積の微分法則)

定理

共に微分可能な関数 $f(x)$ と $g(x)$ の積 $f(x) g(x)$ の微分は、次のように計算できます。 \begin{eqnarray} \frac{d}{dx} f(x) g(x) &=& f(x) \frac{d}{dx}g(x) + g(x) \frac{d}{d x}f(x) \end{eqnarray}

証明

$f(x) g(x)$ の積を \begin{eqnarray} h(x) &\triangleq& f(x) g(x) \label{hx} \end{eqnarray} とし、$x$ を $\Delta x$ だけ増やした時の $f(x),g(x),h(x)$ の増分を \begin{eqnarray} \Delta f &\triangleq& f(x+\Delta x) - f(x) \label{Df}\\ \Delta g &\triangleq& g(x+\Delta x) - g(x) \label{Dg}\\ \Delta h &\triangleq& h(x+\Delta x) - h(x) \end{eqnarray} 書くことにすると \begin{eqnarray} f(x+\Delta x) &=& f(x) + \Delta f \\ g(x+\Delta x) &=& g(x) + \Delta g \\ h(x+\Delta x) &=& h(x) + \Delta h \\ && 式(\ref{hx})より \nonumber\\ &=& f(x) g(x) + \Delta h \label{hxDx} \end{eqnarray} ですから \begin{eqnarray} h(x+\Delta x) &=& f(x+\Delta x)g(x+\Delta x) \\ && 式(\ref{Df}),式(\ref{Dg}) より \nonumber\\ &=& \left\{f(x) + \Delta f\right\} \left\{g(x) + \Delta g\right\} \\ && 展開して \nonumber\\ &=& f(x)g(x) + f(x) \Delta g + g(x) \Delta f + \Delta f \Delta g \label{hxDx2} \end{eqnarray} 式(\ref{hxDx})と式(\ref{hxDx2})を見比べると \begin{eqnarray} \Delta h &=& f(x) \Delta g + g(x) \Delta f + \Delta f \Delta g \end{eqnarray} よって \begin{eqnarray} \frac{\Delta h}{\Delta x} &=& \frac{f(x) \Delta g + g(x) \Delta f + \Delta f \Delta g}{\Delta x} \\ &=& f(x) \frac{\Delta g}{\Delta x} + g(x) \frac{\Delta f}{\Delta x} + \frac{\Delta f \Delta g}{\Delta x} \\ \end{eqnarray} $\Delta x\to 0$ とした極限では \begin{eqnarray} \lim_{x\to 0}\frac{\Delta h}{\Delta x} &=& f(x) \lim_{x\to 0} \frac{\Delta g}{\Delta x} + g(x) \lim_{x\to 0} \frac{\Delta f}{\Delta x} + \lim_{x\to 0} \frac{\Delta f \Delta g}{\Delta x} \\ &=& f(x) \frac{d}{d x}g(x) + g(x) \frac{d}{d x}f(x) + \frac{d}{d x}f(x) \cdot \lim_{x\to 0} \Delta g \label{limDhDx} \end{eqnarray} 左辺は \begin{eqnarray} \lim_{x\to 0}\frac{\Delta h}{\Delta x} &=& \frac{d}{dx}h(x) \\ && 式(\ref{hx})より \nonumber\\ &=& \frac{d}{dx} f(x) g(x) \end{eqnarray} 式(\ref{limDhDx})右辺末尾の $\displaystyle\lim_{x\to 0} \Delta g$ は \begin{eqnarray} \lim_{x\to 0} \Delta g &=& \lim_{x\to 0} \left\{ g(x+\Delta x) - g(x) \right\} \\ &=& \lim_{x\to 0} g(x+\Delta x) - g(x) \\ && g(x) は微分可能だから連続で \lim_{x\to 0} g(x+\Delta x)=g(x) \nonumber\\ &=& g(x) - g(x) \\ &=& 0 \end{eqnarray} より \begin{eqnarray} \frac{d}{dx} f(x) g(x) &=& f(x) \frac{d}{d x}g(x) + g(x) \frac{d}{d x}f(x) \end{eqnarray}