Método de Newton (Newton-Raphson)

1. Visión general

El método de Newton es una técnica iterativa para hallar numéricamente las raíces de ecuaciones no lineales $f(x) = 0$, y es uno de los métodos más fundamentales y potentes del análisis numérico. Fue descubierto de forma independiente por Isaac Newton y Joseph Raphson, por lo que también se conoce como método de Newton-Raphson.

El método aproxima $f$ en cada punto por su recta tangente (desarrollo de Taylor de primer orden) y toma la intersección de esa tangente con el eje $x$ como siguiente aproximación. Con un valor inicial adecuado, presenta convergencia cuadrática: el número de cifras correctas se duplica aproximadamente en cada iteración.

2. Algoritmo

El procedimiento es el siguiente.

1. Elegir un valor inicial $x_0$.
2. Calcular $x_1, x_2, \ldots$ sucesivamente mediante la fórmula de iteración.
3. Detenerse cuando $|x_{n+1} - x_n| < \varepsilon$ o $|f(x_n)| < \delta$ ($\varepsilon$: tolerancia de posición, $\delta$: tolerancia del valor de la función).

3. Interpretación gráfica

La ecuación de la recta tangente en el punto $(x_n,\, f(x_n))$ es

y el punto donde esta tangente corta el eje $x$ ($y=0$) es $x_{n+1}$.

Animación: la convergencia en acción

La animación de abajo muestra cómo el método de Newton converge desde el valor inicial $x_0 = 3.5$ a la raíz $x^* \approx 2.095$.

Deducción de la fórmula

La ecuación de la recta tangente en $(x_n, f(x_n))$ puede escribirse como:

Haciendo $y = 0$ para hallar dónde corta esta tangente el eje $x$:

Esta es la siguiente aproximación $x_{n+1}$. Es decir, la fórmula de iteración del método de Newton surge de forma natural como la intersección de la tangente con el eje $x$.

4. Convergencia cuadrática

Esto significa que el siguiente error es proporcional al cuadrado del error actual, multiplicado por la constante $C$. Por ejemplo, si el error actual es $10^{-3}$, el siguiente error es aproximadamente $C \times (10^{-3})^2 = C \times 10^{-6}$. El número de cifras correctas se duplica aproximadamente en cada iteración, razón por la cual se llama convergencia «cuadrática».

5. Ejemplo: cálculo de $\sqrt{2}$

Implementación en Python

def newton(f, fp, x0, tol=1e-10, max_iter=100):
    """Resuelve f(x) = 0 con el método de Newton.

    Args:
        f, fp: la función y su derivada
        x0:    valor inicial
        tol:   tolerancia aplicada tanto a |f(x)| como a |Δx|
        max_iter: número máximo de iteraciones
    Returns:
        (root, iters)
    Raises:
        ValueError: la derivada es demasiado cercana a cero
        RuntimeError: no converge dentro de max_iter
    """
    x = x0
    for i in range(max_iter):
        fx = f(x)
        if abs(fx) < tol:
            return x, i
        fpx = fp(x)
        if abs(fpx) < 1e-14:
            raise ValueError(f"derivative too small at x={x}")
        x_next = x - fx / fpx
        if abs(x_next - x) < tol:
            return x_next, i + 1
        x = x_next
    raise RuntimeError(f"did not converge in {max_iter} iterations")

# Ejemplo: calcular sqrt(2)
root, iters = newton(lambda x: x*x - 2, lambda x: 2*x, x0=1.0)
print(root, iters)  # 1.414213562373095 5

6. Método de Newton multivariable

Para un sistema de ecuaciones no lineales $\mathbf{f}(\mathbf{x}) = \mathbf{0}$ ($\mathbf{x} \in \mathbb{R}^n$), la fórmula de iteración queda

donde $J(\mathbf{x})$ es la matriz jacobiana

Aunque la fórmula de iteración contiene $J^{-1}$, en la práctica no se calcula explícitamente la matriz inversa. En su lugar se resuelve el sistema lineal

mediante descomposición LU u otros métodos, y se actualiza $\mathbf{x}_{n+1} = \mathbf{x}_n + \Delta\mathbf{x}$. Hay dos razones principales para evitar la inversa explícita:

• Estabilidad numérica: calcular la inversa es susceptible a la cancelación catastrófica, mientras que resolver el sistema lineal directamente mediante descomposición LU da mayor precisión.
• Eficiencia de memoria: la inversa es una matriz densa $n \times n$ que hay que almacenar, mientras que la descomposición LU trabaja in situ y produce $\Delta\mathbf{x}$ directamente.

Como $J(\mathbf{x}_n)$ cambia en cada iteración, la factorización LU debe recalcularse cada vez.

7. Condiciones de convergencia y casos de fallo

Condiciones suficientes de convergencia

• $f(x^*) = 0$ y $f'(x^*) \neq 0$ (raíz simple).
• $f$ es dos veces continuamente derivable en un entorno de la raíz.
• El valor inicial $x_0$ está suficientemente cerca de la raíz.

Casos de fallo

• Raíces múltiples: cuando $f'(x^*)=0$, la convergencia se degrada a lineal. Si se conoce la multiplicidad $m$, el método de Newton modificado $x_{n+1} = x_n - m\,f(x_n)/f'(x_n)$ restaura la convergencia cuadrática. Cuando $m$ es desconocida, se puede aplicar el método de Newton a $u(x) = f(x)/f'(x)$, cuyas raíces son todas simples.
• Derivada nula: si $f'(x_n) \approx 0$ durante la iteración, el método diverge.
• Oscilación periódica: por ejemplo, con $f(x) = x^3 - 2x + 2$ y $x_0 = 0$, las iteraciones oscilan como $x_0 \to 1 \to 0 \to 1 \to \cdots$.

Métodos mejorados y remedios prácticos

Se puede garantizar la convergencia global mediante el método de Newton amortiguado ($x_{n+1} = x_n - \alpha_n\, f(x_n)/f'(x_n)$, donde $\alpha_n$ se determina por búsqueda en línea) o combinándolo con el método de bisección.

8. Comparación con el método de bisección

9. Temas avanzados y métodos relacionados

A continuación se reúnen temas avanzados relacionados con el método de Newton.

Algoritmos clásicos de raíz cuadrada (método babilónico y de Herón)

La recurrencia $x_{n+1} = \dfrac{1}{2}\!\left(x_n + \dfrac{2}{x_n}\right)$ para $\sqrt{2}$ vista en §5 es un caso particular de la forma general $x_{n+1} = \dfrac{1}{2}\!\left(x_n + \dfrac{a}{x_n}\right)$ obtenida al aplicar el método de Newton a $f(x) = x^2 - a$. Esto coincide exactamente con el clásico método babilónico (antigua Mesopotamia) y el método de Herón (descrito por Herón de Alejandría en el siglo I) para calcular raíces cuadradas. El método de Newton puede verse como una generalización unificada de estos algoritmos particulares de extracción de raíces a ecuaciones arbitrarias.

El fractal de Newton (cuencas de atracción)

Aplicar el método de Newton a una función en el plano complejo (el ejemplo clásico es $z^3 - 1 = 0$) y colorear cada valor inicial $z_0$ según la raíz a la que converge produce una figura autosemejante llamada fractal de Newton. El conjunto de valores iniciales que convergen a una raíz dada se denomina cuenca de atracción de esa raíz, y las fronteras entre cuencas tienen estructura fractal. Esto demuestra visualmente la sensibilidad al valor inicial —un cambio mínimo puede conducir a la convergencia hacia una raíz completamente distinta— y es un ejemplo llamativo de lo difícil que suele ser predecir el comportamiento global del método de Newton.

Métodos de orden superior (método de Halley)

Usando también la segunda derivada $f''$, se pueden construir iteraciones con un orden de convergencia mayor que el del método de Newton. Un ejemplo representativo es el método de Halley, que converge de forma cúbica:

El coste por paso aumenta, pero resulta ventajoso cuando se requiere muy alta precisión o cuando $f''$ es barata de evaluar. El método de Newton (convergencia cuadrática) es el caso más básico de tales iteraciones de orden superior.

Métodos cuasi-Newton (variantes que aproximan la derivada)

Cuando la derivada o la jacobiana es difícil o costosa de calcular, se usan variantes que las aproximan. En una dimensión, el método de la secante aproxima $f'$ por una diferencia finita (orden de convergencia $\varphi \approx 1.618$); en varias dimensiones, los métodos cuasi-Newton aproximan y actualizan la jacobiana en cada iteración. El caso clásico es el método de Broyden (1965), que realiza una actualización de rango bajo de la aproximación de la jacobiana a partir del cambio de los valores de la función en cada paso. El método BFGS, muy usado en optimización, también es un método cuasi-Newton.

10. Resumen

• Fórmula de iteración del método de Newton: $x_{n+1} = x_n - \dfrac{f(x_n)}{f'(x_n)}$
• Es una operación gráfica que toma la intersección de la recta tangente con el eje $x$ como siguiente aproximación.
• Convergencia cuadrática: el número de cifras correctas se duplica aproximadamente en cada iteración.
• Se requiere calcular la derivada $f'(x)$.
• La elección del valor inicial es crucial, y la convergencia no está garantizada en todos los casos.
• La extensión a varias variables requiere la matriz jacobiana y resolver un sistema lineal.

11. Preguntas frecuentes

12. Referencias

• Wikipedia, «Método de Newton» (en español)
• Wikipedia, «Kantorovich theorem» (en inglés)
• R. L. Burden & J. D. Faires, Numerical Analysis, 10.ª ed., Cengage, 2016.
• J. Nocedal & S. J. Wright, Numerical Optimization, 2.ª ed., Springer, 2006.
• J. M. Ortega & W. C. Rheinboldt, Iterative Solution of Nonlinear Equations in Several Variables, Academic Press, 1970 (referencia estándar del método de Newton multivariable y el teorema de Kantórovich).
• L. V. Kantorovich, "Functional analysis and applied mathematics," Uspekhi Mat. Nauk, vol. 3, n.º 6, pp. 89--185, 1948 (artículo original del teorema de convergencia de Kantórovich).
• N. J. Higham, Accuracy and Stability of Numerical Algorithms, 2.ª ed., SIAM, 2002 (capítulo 3 sobre la estabilidad numérica de los métodos iterativos y las trampas de los criterios de parada).
• Wikipedia, «Newton fractal» (cuencas de atracción en el plano complejo)
• Wikipedia, «Quasi-Newton method» (Broyden, BFGS)