数論
Number Theory
このシリーズについて
数論は整数の性質を研究する数学の一分野である。「数学の女王」とも呼ばれ、最も古くから研究されてきた分野の一つでありながら、現代でも多くの未解決問題を抱える活発な研究領域である。
本シリーズでは、整数の基本的な性質から始めて、素数の分布、合同式の理論、そして代数的整数論や解析的数論まで段階的に学習する。暗号理論やコンピュータサイエンスへの応用も随所で触れる。
レベル別学習
初級
大学1-2年レベル
- 合同式の基礎
- フェルマーの小定理
- オイラーの定理
- 中国剰余定理
- 原始根
中級
大学3-4年レベル
- 2次剰余
- 平方剰余の相互法則
- 連分数
- ペル方程式
- 数論的関数
上級
大学院レベル
- 代数的整数論
- 類数とイデアル
- 解析的数論入門
- ゼータ関数
- 楕円曲線入門
学習の流れ
主な学習内容
整除性
約数・倍数の関係、素因数分解、最大公約数と最小公倍数。
素数
素数の無限性、素数定理、双子素数予想などの未解決問題。
合同算術
剰余の世界での計算、フェルマー・オイラーの定理、RSA暗号への応用。
ディオファントス方程式
整数解を求める方程式、ピタゴラス数、フェルマーの最終定理。
特論
レベルを横断して深く掘り下げるトピック。
素因数分解アルゴリズム
計算数論の中心的トピック
- 試し割り法・フェルマー法
- ポラードのρ法・p−1法
- 楕円曲線法 (ECM)
- 2次篩法・数体篩法
- RSA暗号との関係
応用分野
- 暗号理論：RSA暗号、楕円曲線暗号など現代の公開鍵暗号の基礎
- 符号理論：誤り訂正符号の構成
- 計算機科学：素数判定、因数分解アルゴリズム
- 物理学：弦理論におけるモジュラー形式の応用