リー代数 入門

Lie Algebra — Introduction (大学 2-3 年レベル)

このシリーズの目標

  • リー代数の定義と基本的な性質を理解する
  • リー括弧の意味を理解する
  • 行列から作られるリー代数の具体例に親しむ
  • 部分代数、イデアル、準同型の概念を学ぶ
  • リー群とリー代数の関係を直感的に理解する

前提知識

  • 線形代数（行列の演算、固有値、線形空間）
  • 群論の基礎（群の定義、部分群、準同型）

章の構成

第1章: リー代数の定義

リー代数とは何か。線形空間にリー括弧を備えた代数構造の定義と、双線形性・交代性（反可換性）・ヤコビ恒等式について学ぶ。

第2章: リー括弧と交換子

行列の交換子 $[A, B] = AB - BA$ がリー括弧の典型例であることを学ぶ。物理学との関係も紹介。

第3章: 行列リー代数

$\mathfrak{gl}(n)$, $\mathfrak{sl}(n)$, $\mathfrak{so}(n)$, $\mathfrak{u}(n)$ など、行列から作られる基本的なリー代数を学ぶ。

第4章: 部分代数とイデアル

リー部分代数とイデアルの定義。群論における部分群・正規部分群との類似を理解する。

第5章: 準同型と同型

リー代数の準同型・同型の定義と基本性質。準同型定理について学ぶ。

第6章: リー群とリー代数の関係

リー群の単位元における接空間としてのリー代数。指数写像と微分の直感的理解。

第7章: 練習問題

入門レベルの理解を確認するための演習問題集。

読み物

回転に潜む足し算読み物

連続的に動かせる対称性を、ほんの少しだけ動かした瞬間で捉える。曲がった回転の世界が、足し算のできる平らな地図になるまでを肩の力を抜いて語る。

対称性が守るもの読み物

なぜエネルギーや運動量は保存されるのか。「法則を少し動かしても変わらない」という連続対称性の一つひとつに、守られる量が対応している――ネーターの定理の香りを気軽に語る。

ソフス・リーという夢読み物

「リー代数」のリーとは誰か。微分方程式にガロア理論を夢みたノルウェーの数学者ソフス・リーの生涯と、その名が一つの分野になるまでを、歴史と人物の小話で気軽に語る。

概要

リー代数は、19世紀にノルウェーの数学者ソフス・リー（Sophus Lie）が進めた連続変換群（リー群）と無限小変換の研究から生まれた代数構造である（現代的な抽象的定義は後に整えられた）。リー群を線形代数の言葉で記述できる強力な道具となる。

具体的には、リー代数は線形空間にリー括弧 $[X, Y]$ という演算（双線形・交代的で、ヤコビ恒等式を満たす演算）を備えた構造である。

$\mathfrak{gl}(n)$ や、交換子について閉じた行列の部分空間では、リー括弧は $[A, B] = AB - BA$ で与えられる。この演算は常に $[A, B] = -[B, A]$ を満たし、多くの行列の組で $[A, B] \neq 0$（つまり $[A, B] \neq [B, A]$）となって、積の順序のずれを測る。

この入門では、まずリー代数の定義を学び、行列リー代数という具体例を通じて理解を深める。抽象的な概念も、行列という馴染みのある対象を通じて学ぶことで、自然に理解できるようになる。

よくある質問

リー代数を学ぶ前に何を知っておくべきですか？

線形代数（行列の演算、固有値、線形空間、基底と次元）と群論の基礎（群の定義、部分群、準同型）があれば十分である。微分積分は第 6 章のリー群との関係で接空間・指数写像を扱う際に必要になるが、直感的な理解で出発できる。大学 2-3 年生レベルを想定しており、物理を学ぶ学生にも適している。

リー代数とリー群の関係は？

リー群は微分可能多様体の構造を持つ群で、連続な対称性（回転・ローレンツ変換など）を記述する。リー代数はリー群の単位元における接空間にリー括弧を備えたもので、線形空間の言葉でリー群の構造を扱える。指数写像 $\exp: \mathfrak{g} \to G$ により両者が結びつき、単位元の近くではリー群の積がリー括弧から（Baker–Campbell–Hausdorff の公式で）決まる。リー代数が同型なリー群は局所的に同型で、連結かつ単連結なリー群はリー代数から同型を除いて決まる。また、どの有限次元の実リー代数も、あるリー群のリー代数として現れる（リーの第三定理）。

リー括弧はなぜ非可換ですか？

行列リー代数では、リー括弧は交換子 $[X, Y] = XY - YX$ で与えられ、常に $[X, Y] = -[Y, X]$（反可換）を満たす。一般のリー代数では、双線形・交代的（$[X, X] = 0$）でヤコビ恒等式を満たす演算として定義される。$[X, Y]$ は二つの無限小変換の順序を入れ替えたときのずれを測る量で、回転の合成のような非可換な対称性を表す。括弧がすべて 0 になる可換なリー代数もあり、これも基本的な例として重要である。

行列リー代数とは何ですか？

$\mathfrak{gl}(n)$（すべての $n \times n$ 行列）の線形部分空間で、交換子 $[A, B] = AB - BA$ について閉じたものを行列リー代数という。代表例は $\mathfrak{gl}(n)$、$\mathfrak{sl}(n)$（トレース 0）、$\mathfrak{so}(n)$（歪対称）、$\mathfrak{u}(n)$（歪エルミート）で、それぞれ古典群 $GL(n)$, $SL(n)$, $SO(n)$, $U(n)$ のリー代数として自然に現れる。具体的な行列計算でリー代数に触れられるため、抽象理論への橋渡しとして重要である。