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$\tan\left(\dfrac{\pi}{2} - \theta\right) = \cot\theta$ の証明

概要

本ページでは、三角関数の余角の公式の一つである

$$ \tan\left(\frac{\pi}{2} - \theta\right) = \cot\theta \tag{1} $$

を、直角三角形の定義に基づいて丁寧に証明する。 この公式は「余角の関係」と呼ばれ、$\tan$ と $\cot$ が互いに補完的な関係にあることを示している。

三角関数の定義

証明に入る前に、直角三角形における三角関数の定義を確認する。

直角三角形

図1: 直角三角形（角 θ、底辺 x、高さ y）

上の図において、原点 O における角を $\theta$ とし、底辺の長さを $x$、高さを $y$、斜辺の長さを $r$ とする。 このとき、三角関数は以下のように定義される。

三角関数の定義

$$ \sin\theta = \frac{y}{r}, \quad \cos\theta = \frac{x}{r} $$ $$ \tan\theta = \frac{y}{x} = \frac{\sin\theta}{\cos\theta} $$ $$ \cot\theta = \frac{x}{y} = \frac{\cos\theta}{\sin\theta} = \frac{1}{\tan\theta} $$

ここで重要なのは、$\tan\theta$ が「高さ÷底辺」、$\cot\theta$ が「底辺÷高さ」であることである。 つまり、$\tan$ と $\cot$ は分子と分母が入れ替わった関係にある。

証明

では、$\tan\left(\dfrac{\pi}{2} - \theta\right) = \cot\theta$ を証明する。

Step 1: tan の定義を適用

$\tan$ の定義 $\tan\alpha = \dfrac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$ を用いると、

$$ \tan\left(\frac{\pi}{2} - \theta\right) = \frac{\sin\left(\frac{\pi}{2} - \theta\right)}{\cos\left(\frac{\pi}{2} - \theta\right)} \tag{2} $$

Step 2: 余角の公式を適用

sin と cos については、以下の余角の公式が成り立つ。

$$ \sin\left(\frac{\pi}{2} - \theta\right) = \cos\theta \tag{3} $$ $$ \cos\left(\frac{\pi}{2} - \theta\right) = \sin\theta \tag{4} $$

これらは直角三角形で考えると直感的に理解できる。 直角三角形の2つの鋭角の和は $\dfrac{\pi}{2}$（90°）なので、 一方の角が $\theta$ なら他方は $\dfrac{\pi}{2} - \theta$ である。 このとき、一方の角から見た「対辺」は他方から見ると「隣辺」になる。

Step 3: 代入して整理

式 (3), (4) を式 (2) に代入すると、

$$ \tan\left(\frac{\pi}{2} - \theta\right) = \frac{\cos\theta}{\sin\theta} \tag{5} $$

Step 4: cot の定義と比較

$\cot\theta$ の定義は

$$ \cot\theta = \frac{\cos\theta}{\sin\theta} \tag{6} $$

である。式 (5) と式 (6) を比較すると、両者は一致している。

結論

$$ \tan\left(\frac{\pi}{2} - \theta\right) = \cot\theta \quad \blacksquare $$

直感的理解

記憶しやすいように、この公式を視覚的に表現してみよう。

θ から見た場合
π/2-θ から見た場合

図2: A の三角形を横にして B とする

三角形の内角の和は $\pi = 180^\circ$ だから、直角三角形 (ひとつの角が $\displaystyle\frac{\pi}{2} = 90^\circ$) では、もうひとつの角が $\theta$ なら、残りの角は $\dfrac{\pi}{2} - \theta$ である。これを $\theta$ に対する余角という。 $$ \underbrace{\frac{\pi}{2}}_{\text{直角}=90^\circ} + \bcancel{\theta} + \underbrace{\left(\dfrac{\pi}{2} - \bcancel{\theta}\right)}_{\text{余角}} = \underbrace{\pi}_{180^\circ} $$

図2Aの $\theta$ に関して次式が成り立つ。 \begin{align} \tan\theta = \dfrac{y}{x} \label{yx} \end{align}

同様に図2Bでは $\dfrac{\pi}{2} - \theta$ に関して次式が成り立つ。 \begin{align} \tan\left(\dfrac{\pi}{2} - \theta\right) = \dfrac{x}{y} \label{xy} \end{align} \eqref{yx} と \eqref{xy} の右辺を見れば、両者が逆数の関係にあることがわかる。つまり \begin{align} \tan\left(\frac{\pi}{2} - \theta\right) = \frac{1}{\tan\theta} = \cot\theta \end{align}

このように、直角三角形では注目する角を取り替えると $\tan$ と $\cot$ が入れ替わる。

参考文献