微分初級

多変数微分への拡張（大学1-2年レベル）

初級の概要

初級では、1変数関数から多変数関数への拡張を学ぶ。偏微分・全微分の概念から、多変数関数の極値問題、制約付き最適化、そして微分方程式の入門まで扱う。

学習目標

偏微分と全微分の概念を理解する
多変数関数の連鎖律を使える
多変数関数の極値をヘッセ行列で判定できる
ラグランジュの未定乗数法を習得する
多変数テイラー展開を理解する
基本的な微分方程式を解ける

第1章偏微分
偏微分の定義、偏微分の計算、高階偏微分
第2章全微分と接平面
全微分の定義、接平面の方程式、線形近似
第3章多変数の連鎖律
連鎖律の公式、陰関数定理、変数変換
第4章多変数関数の極値
臨界点と極値、ヘッセ行列による判定、鞍点
第5章ラグランジュの未定乗数法
ラグランジュ乗数法の原理、等式制約の最適化、応用例
第6章多変数テイラー展開
二次近似、一般のテイラー展開、誤差の評価
第7章微分方程式入門
変数分離形、1階線形微分方程式、応用例
第8章厳密な解析学への入口
極限・連続性・微分可能性の厳密な定義（ε-δ論法）

単変数微分の発展（大学レベル）

入門（高校レベル）から一歩進んだ、1変数微分の厳密な理論。入門コースを終えたあとの発展として読むとよい。

導関数の定義 — 極限による導関数の厳密な定義と、べき・指数・対数・三角関数など基本関数の微分公式（リファレンス）
平均値の定理 — ロルの定理・平均値の定理・コーシーの平均値の定理を厳密に証明する
ロピタルの定理 — 不定形の極限を、コーシーの平均値の定理を用いて厳密に扱う
テイラー展開 — テイラーの定理・ラグランジュの剰余項・収束半径
基本関数のテイラー展開 — $e^x,\sin x,\cos x,\ln(1+x)$ のマクローリン展開とオイラーの公式
積の微分法則 — 極限の定義からの厳密証明とライプニッツの一般公式
商の微分法則 — 商 f/g の微分公式を極限の定義から導出し、具体例で確認する
コーシーの平均値の定理 — 補助関数とロルの定理による証明、ロピタルの定理への応用

前提知識

微分入門の内容
線形代数の基礎（行列、行列式）
ベクトルの基礎

よくある質問

微分初級では何を学ぶか

偏微分・全微分・多変数連鎖律・多変数関数の極値・ラグランジュ未定乗数法・多変数テイラー展開・常微分方程式入門・厳密な解析（イプシロン－デルタ）などを扱う。1変数微分の基礎を前提として、多変数・応用・厳密性の方向に理解を広げる。

ラグランジュ未定乗数法とはどのような手法か

制約条件 $g(x,y)=0$ のもとで $f(x,y)$ を最大化・最小化する問題を解く手法である。補助変数（未定乗数）$\lambda$ を導入し、$\nabla f = \lambda \nabla g$ および $g=0$ を連立して解く。等式制約付き最適化の基礎で、物理・経済・機械学習に広く応用される。

多変数テイラー展開はどのように使うか

点 $(a,b)$ の近傍で $f(x,y) \approx f(a,b)+f_x(a,b)(x-a)+f_y(a,b)(y-b)+\frac{1}{2}[f_{xx}(x-a)^2+2f_{xy}(x-a)(y-b)+f_{yy}(y-b)^2]+\cdots$ と展開される。極値の判定（ヘッセ行列の正定値性）や数値計算での局所線形化・2次近似に用いられる。

読み物

傾きが一つでは足りなくなる日［読み物］ — 「傾きは一つ」の世界から「向きしだいで傾きが変わる」世界へ。偏微分と勾配の発想を、丘を歩く気分で語る。
入れ子をほどく魔法［読み物］ — 関数の中に関数がいる入れ子を、歯車のかみ合わせのように変化率をかけ合わせてほどく。連鎖律の発想を気軽に語る。
平らだからといって頂上とは限らない［読み物］ — 傾きがゼロでも山頂とは限らない。谷底か、それとも峠（鞍点）か。一階では見抜けない「曲がり具合」を二階微分が見分ける発想を、山歩きの気分で語る。