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チェビシェフ多項式 (ちぇびしぇふたこうしき)

第1種チェビシェフ多項式 $T_n(x)$は、余弦関数 $\cos(x)$ の $n$ 倍角公式を与える多項式。

n	$T_n(x)$	$\cos \theta$ の n 倍角公式
0	$1$	$\cos(0\theta)=1$
1	$x$	$\cos(1\theta)=\cos \theta$
2	$2x^2-1$	$\cos(2\theta)=2\cos^2 \theta-1$
3	$4x^3-3x$	$\cos(3\theta)=4\cos^3 \theta-3\cos \theta $
4	$8x^4-8x^2+1$	$\cos(4\theta)=8\cos^4 \theta-8\cos^2 \theta +1$
$\vdots$	$\vdots$	$\vdots$

【参考】チェビシェフ多項式の計算法

$|x|\leq 1$ では $|T_n(x)|\leq 1$ の範囲で振動し、その外側で $|T_n(x)|$ が急激に大きくなることから、チェビシェフ・フィルタの設計に用いられる。

【参考】チェビシェフ・フィルタの設計原理をやさしく解説

直交行列 (ちょっこうぎょうれつ)

正方行列 $\boldsymbol{A}$ の転置 $\boldsymbol{A}^\top$ が逆行列 $\boldsymbol{A}^{-1}$ に等しい行列を直交行列という。 \begin{eqnarray} \boldsymbol{A}^\top &=& \boldsymbol{A}^{-1} \end{eqnarray} したがって、$\boldsymbol{A}$ が直交行列なら \begin{eqnarray} \boldsymbol{A}^\top \boldsymbol{A} &=& \boldsymbol{I} \end{eqnarray} が成り立つ。

【参考】$\boldsymbol{A}$ が複素行列の場合は、$\boldsymbol{A}^H = \boldsymbol{A}^{-1}$ を満たすものをユニタリ行列という。

n	\(T_n(x)\)	\(\cos \theta\) の n 倍角公式
0	\(1\)	\(\cos(0\theta)=1\)
1	\(x\)	\(\cos(1\theta)=\cos \theta\)
2	\(2x^2-1\)	\(\cos(2\theta)=2\cos^2 \theta-1\)
3	\(4x^3-3x\)	\(\cos(3\theta)=4\cos^3 \theta-3\cos \theta \)
4	\(8x^4-8x^2+1\)	\(\cos(4\theta)=8\cos^4 \theta-8\cos^2 \theta +1\)
\(\vdots\)	\(\vdots\)	\(\vdots\)