チェビシェフ多項式の計算法

チェビシェフ多項式

\(n\) 次の第1種チェビシェフ多項式 \(T_n(x)\) は \(|x|\leq 1\) の範囲で \(\cos\) の \(n\) 倍角公式を与える多項式です。 つまり \(x=\cos\theta\) とすれば \begin{eqnarray} T_n(x) = T_n(\cos \theta) = \cos(n \theta) \label{Tn} \end{eqnarray} が成り立ち、最初のいくつかは次のようになります。

漸化式で計算する

\(\cos\) の加法定理 \begin{eqnarray} \cos(\alpha\pm\beta) &=& \cos(\alpha)\cos(\beta)\mp\sin(\alpha)\sin(\beta) \end{eqnarray} から \begin{eqnarray} \cos\left\{(m+1)\theta\right\} &=& \cos(m\theta)\cos(\theta)-\sin(m\theta)\sin(\theta) \label{m+1}\\ \cos\left\{(m-1)\theta\right\} &=& \cos(m\theta)\cos(\theta)+\sin(m\theta)\sin(\theta) \label{m-1} \end{eqnarray} が成り立ち、式(\ref{m+1})と式(\ref{m-1})を足し合わせると \(\sin(m\theta)\sin(\theta)\) の項が消えて \begin{eqnarray} \cos\left\{(m+1)\theta\right\} + \cos\left\{(m-1)\theta\right\} &=& 2\cos(m\theta)\cos(\theta) \end{eqnarray} \(n=m+1\) とすれば \begin{eqnarray} \cos(n\theta) + \cos\left\{(n-2)\theta\right\} &=& 2\cos((n-1)\theta)\cos(\theta) \end{eqnarray} 式(\ref{Tn}) より \(\cos(n \theta)=T_n(x)\) と書けますので \begin{eqnarray} \underbrace{\cos(n\theta)}_{T_n(x)} + \underbrace{\cos\left\{(n-2)\theta\right\}}_{T_{n-2}(x)} &=& 2 \underbrace{\cos((n-1)\theta)}_{T_{n-1}(x)} \underbrace{\cos(\theta)}_{x} \end{eqnarray} 左辺第2項を右辺に移項して書き直せば \begin{eqnarray} T_n(x) &=& 2 x T_{n-1}(x) - T_{n-2}(x) \end{eqnarray} が成り立ちます。\(T_0(x)=1, T_1(x)=x\) と合わせれば、第1種チェビシェフ多項式は \begin{eqnarray} T_n(x) &=& \left\{ \begin{array}{ll} 1, & n=0 \\ x, & n=1 \\ 2 x T_{n-1}(x) - T_{n-2}(x), & n\geq 2 \end{array} \right. \label{rec} \end{eqnarray} と漸化式で計算できます。

一般項を求める

漸化式(\ref{rec})は行列を使って次のように表現できます。 \begin{eqnarray} \left( \begin{array}{c} T_n(x) \\ T_{n-1}(x) \end{array} \right) &=& \left( \begin{array}{cc} 2x & -1 \\ 1 & 0 \end{array} \right) \left( \begin{array}{c} T_{n-1}(x) \\ T_{n-2}(x) \end{array} \right) \label{matT} \end{eqnarray} 式(\ref{matT})の右辺に対して再帰的に式(\ref{matT})を適用してゆくと \begin{eqnarray} \left( \begin{array}{c} T_n(x) \\ T_{n-1}(x) \end{array} \right) &=& \left( \begin{array}{cc} 2x & -1 \\ 1 & 0 \end{array} \right) \left( \begin{array}{cc} 2x & -1 \\ 1 & 0 \end{array} \right) \left( \begin{array}{c} T_{n-2}(x) \\ T_{n-3}(x) \end{array} \right) \\ &=& \left( \begin{array}{cc} 2x & -1 \\ 1 & 0 \end{array} \right) \left( \begin{array}{cc} 2x & -1 \\ 1 & 0 \end{array} \right) \cdots \left( \begin{array}{cc} 2x & -1 \\ 1 & 0 \end{array} \right) \left( \begin{array}{c} T_{1}(x) \\ T_{0}(x) \end{array} \right) \\ &=& \left( \begin{array}{cc} 2x & -1 \\ 1 & 0 \end{array} \right)^{n-1} \left( \begin{array}{c} T_1(x) \\ T_0(x) \end{array} \right) \\ && 式(\ref{rec})より T_0(x)=1, T_1(x)=x なので \nonumber\\ &=& \left( \begin{array}{cc} 2x & -1 \\ 1 & 0 \end{array} \right)^{n-1} \left( \begin{array}{c} x \\ 1 \end{array} \right) \end{eqnarray} の形になります。ここで \begin{eqnarray} \mathbf{A} &= \left( \begin{array}{cc} 2x & -1 \\ 1 & 0 \end{array} \right) \end{eqnarray} と書くことにすれば、次のように表せます。 \begin{eqnarray} \left( \begin{array}{c} T_n(x) \\ T_{n-1}(x) \end{array} \right) &=& \mathbf{A}^{n-1} \left( \begin{array}{c} x \\ 1 \end{array} \right) \label{An11x} \end{eqnarray} \(r=\sqrt{x^2-1}\) と置くと \(\mathbf{A}\) の固有値は \(x-r\) と \(x+r\) で、これらを対角要素とする行列を \begin{eqnarray} \mathbf{\Lambda} &=& \left( \begin{array}{cc} x-r & 0 \\ 0 & x+r \end{array} \right) \end{eqnarray} としましょう。\(\mathbf{A}\) の固有ベクトル \(\left( \begin{array}{cc} x-r \\ 1 \end{array} \right)\) と \(\left( \begin{array}{cc} x+r \\ 1 \end{array} \right)\) を並べた行列を \begin{eqnarray} \mathbf{P} &=& \left( \begin{array}{cc} x-r & x+r \\ 1 & 1 \end{array} \right) \end{eqnarray} とすると、その逆行列は \begin{eqnarray} \mathbf{P}^{-1} &=& \displaystyle\frac{1}{2 r} \left( \begin{array}{cc} -1 & r+x \\ 1 & r-x \end{array} \right) \end{eqnarray} であり、 \begin{eqnarray} \mathbf{P}^{-1}\mathbf{A}\mathbf{P} &=& \mathbf{\Lambda} \end{eqnarray} が成り立ちますから \begin{eqnarray} \mathbf{A} &=& \mathbf{P}\mathbf{\Lambda}\mathbf{P}^{-1} \end{eqnarray} と書くと、 \begin{eqnarray} \mathbf{A}^{n-1} &=& (\mathbf{P}\mathbf{\Lambda}\mathbf{P}^{-1})^{n-1} \\ &=& (\mathbf{P}\mathbf{\Lambda}\mathbf{P}^{-1}) \cdot (\mathbf{P}\mathbf{\Lambda}\mathbf{P}^{-1}) \cdot (\mathbf{P}\mathbf{\Lambda}\mathbf{P}^{-1}) \cdot \cdots \cdot (\mathbf{P}\mathbf{\Lambda}\mathbf{P}^{-1}) \cdot\\ &=& \mathbf{P}\mathbf{\Lambda}(\underbrace{\mathbf{P}^{-1}\mathbf{P}}_{\mathbf{I}})\mathbf{\Lambda}(\underbrace{\mathbf{P}^{-1}\mathbf{P}}_{\mathbf{I}})\mathbf{\Lambda} \cdots (\underbrace{\mathbf{P}^{-1}\mathbf{P}}_{\mathbf{I}})\mathbf{\Lambda}\mathbf{P}^{-1} \cdot\\ &=& \mathbf{P}\mathbf{\Lambda}^{n-1} \mathbf{P}^{-1} \label{An1} \end{eqnarray} であり、式(\ref{An11x})は \begin{eqnarray} \left( \begin{array}{c} T_n(x) \\ T_{n-1}(x) \end{array} \right) &=& \underbrace{\left( \begin{array}{cc} x-r & x+r \\ 1 & 1 \end{array} \right)}_{\mathbf{P}} \underbrace{\left( \begin{array}{cc} \left(x-r\right)^{n-1} & 0 \\ 0 & \left(x+r\right)^{n-1} \end{array} \right)}_{\mathbf{\Lambda}^{n-1}} \underbrace{\displaystyle\frac{1}{2 r} \left( \begin{array}{cc} -1 & r+x \\ 1 & r-x \end{array} \right)}_{\mathbf{P}^{-1}} \left( \begin{array}{c} x \\ 1 \end{array} \right) \end{eqnarray} と書けて、右辺を整理して \(T_n(x)\) を取り出すと次のようになります。 \begin{eqnarray} T_n(x) &=& \frac{\left(x+r\right)^{n}+\left(x-r\right)^{n}}{2}, \quad r=\sqrt{x^2-1} \end{eqnarray} これが \(n\) 次の第1種チェビシェフ多項式 \(T_n(x)\) の一般項です。

チェビシェフ・フィルタの設計原理をやさしく解説